(9^ ) 

 mule (8) 



m K = o, (mod. M). 



On peut donc noncer encore la proposition suivante : 



5 e Thorme. Soient 1 une fonction de n variables x , y % s,. . .; 

 M le nombre de ses valeurs gales ; 

 m le nombre de ses valeurs distinctes 1,0,', 0", ...; 

 i, P, Q, R,... les substitutions conjugues qui n'altrent pas la valeur de il: 

 K le nombre de celles d'entre les fonctions 1, 0', 0",... qui ne sont pas 

 altres quand on leur applique une ou plusieurs des substitutions 

 P, Q,R,.... 



La diffrence m K sera divisible par M, en sorte qu'on aura 



(18) m K = o, (mod. M). 



Corollaire. Si le nombre m des valeurs distinctes de la fonction est infrieur 

 \jN, on aura m < M, et, par suite, la formule (18) se rduira simplement 

 l'quation 



K=m. 



Donc alors la valeur de chacune des fonctions 0, 1' , 1",. . ., demeurera in- 

 tacte quand on effectuera les substitutions ", %_, A, . . ., ou au moins l'une 

 d'entre elles. 



Si, dans le I er thorme, on remplace le systme des substitutions con- 

 jugues i, #, xL, & > 5 par les diverses puissances d'une seule substitution P 

 de Tordre i, on obtiendra la proposition suivante : 



6 e Thorme. Soit O une fonction de plusieurs variables indpendantes 

 oc, y, z, . . . ; soient encore 



1, ',0",... 



les valeurs distinctes de cette fonction , et m le nombre de ses valeurs gales. 

 Soient enfin P une substitution de l'ordre /, et k le nombre de celles d'entre 

 les fonctions 0, ', 0", . . qui ne sont pas altres quand on effectue les sub- 

 stitutions 



P P2 D3 ii-t 



1,1 ,1 ,....! , 



ou du moins quelques-unes d'entre elles. La diffrence m k sera un nuil- 



