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II. Sur le dnombrement des substitutions diverses qui n'altrent pas une fonction de 



plusieurs variables indpendantes. 



Soit une fonction de n variables indpendantes 



X 



, r, a, 







Nommons 



(i) a, oj, f,..i 



les valeurs distinctes de cette fonction qui rsultent de permutations opres 

 entre les variables, et m le nombre de ces valeurs distinctes. Soient encore 



P une substitution de Tordre i, prise parmi celles qui n'altrent pas la valeur 



de ; 

 P, P', P", . . . les diverses substitutions semblables P; 

 13 le nombre des substitutions P, P', P", . . .; 

 h le nombre de celles des substitutions P, P', P', . . . qui n'altrent pas la 



valeur de ; 

 k le nombre de celles des fonctions il, fi', 0",. . . qui ne sont pas altres 



par la substitution P. 



On aura, comme nous l'avons dj montr dans un prcdent article, 

 (a) hm = ku ; 



et chacun des rapports gaux 



o m 



devra tre videmment ou infrieur, ou tout au plus quivalent l'unit. Si 

 d'ailleurs on nomme M le nombre des valeurs gales de la fonction , et N 

 le produit i .a. 3. . .n, on aura non-seulement 



(3) mM == N, 

 mais encore 



(4) 2h = M, 



la somme qu'indique le signe 2 s'tendant toutes les formes que peut re- 

 vtir la substitution P. 



