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11 est facile de s'assurer que chacune des substitutions comprises dans ce ta - 

 bleau sera encore du nombre de celles pour lesquelles se vrifient des qua- 

 tions de la forme ( 5 ). Car, si l'on pose , par exemple , 



UP = U', 

 et , par suite , 



U = U'P~', u-' = pu-\ 



l'quation (3), qui concide avec l'quation (5) , donnera 



(io) ^=U'R'U'-', 



la valeur de R' tant 



(n) R'=P-'RP; 



et comme, en vertu de la formule (il), R' sera une substitution comprise 

 dans la srie (i), mais semblable R, et par consquent distincte de l'unit, 

 l'quation (10), laquelle satisfera la substitution U', sera videmment de la 

 mme forme que l'quation (3) ou (5). D'ailleurs, deux termes compris dans 

 deux lignes horizontales du tableau (9) seront certainement distincts l'un 

 de l'autre; et si deux termes compris dans deux lignes horizontales diff- 

 rentes, par exemple les termes 



UP, VQ, 





 compris dans la seconde et la troisime ligne horizontale , deviennent gaux , 



alors l'quation 



(ia) VQ = UP 



entranera la formule 



(i3) V = UPQ~\ 



en vertu de laquelle V sera dj un des termes compris dans la seconde ligne 

 horizontale. Donc tous les termes du tableau (9) seront distincts les uns des 

 autres, si en construisant ce tableau on a soin de prendre pour premier terme 

 de chaque nouvelle ligne horizontale une des substitutions non comprises 

 dans les lignes dj crites, mais pour lesquelles se vrifient des quations de 

 la forme (5). Or. ces conditions tant supposes remplies, concevons que 



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