( io36 ) 



l'on donne au tableau (9) la plus grande tendue possible ; alors il renfermera 

 ncessairement toutes les substitutions pour lesquelles se vrifie la formule (5), 

 et par consquent E termes distincts , rpartis entre des lignes horizontales 

 qui renfermeront chacune M termes. Donc, si l'on nomme 9C le nombre de 

 ces lignes horizontales, on aura 



(14) E =Mx. 



Ajoutons que , si l'on pose, pour abrger, 



iV 

 M 

 on aura identiquement 



(i5) JV = mM, 



et que des formules (6), (i/j) 1 (i5), on tirera immdiatement l'quation 



(16) F=M{m-X), 



en vertu de laquelle F sera encore un multiple de M. Au reste , pour tablir 

 directement cette conclusion , il sufft de concevoir que la srie (8) se com- 

 pose , non plus de substitutions pour chacune desquelles se vrifient toujours 

 des quations de la forme (5), mais, au contraire, de substitutions pour les- 

 quelles ne se vrifient jamais des quations de cette forme. En effet, cette 

 supposition tant adopte, un terme quelconque du tableau (5), par exemple 

 le terme 



U' = UP, 



ne pourra vrifier une quation de la forme (5), par exemple l'quation (10), 

 R' tant l'une des substitutions P, Q, R,. . . . Car, en remettant pour U' sa 

 valeur UP dans l'quation (10), et posant 



PR'P-< = R, 



on reviendrait de l'quation (10) la formule (4), que devrait vrifier, 

 contrairement l'hypothse admise, la substitution U. D'ailleurs, pour que 

 les termes du tableau (9) soient encore tous distincts les uns des autres, il 

 suffira, comme ci-dessus, qu'en prolongeant ce tableau, on prenne toujours 

 pour premier terme de chaque nouvelle ligne horizontale un terme non com- 

 pris dans les lignes horizontales dj crites. Cela pos, il est clair qu'au 



