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ces deux systmes, le premier de l'ordre M, le second de l'ordre 3u Nom- 

 mons E le nombre total des substitutions U, pour lesquelles se vrifient des 

 quations de la forme 



(27) <U = UP, 



et posons, pour abrger, N= i . 2 , 3 . . .n. Les nombres N, E fourniront le 

 mme reste lorsqu'on les divisera par le produit MdK,. 



Corollaire. Si les deux systmes se rduisent un seul , alors, au lieu du 

 i cr thorme, on obtiendra la proposition suivante : 



2 e Thorme. Soit 



1, P, Q, R,... 



un systme de substitutions conjugues de l'ordre M, et nommons E le nom- 

 bre des substitutions U pour lesquelles se vrifient des quations de la forme 



(28) QU = UP, 



Q pouvant se confondre avec P. Le nombre E et le nombre N =1 .1. . .n , 

 diviss parle carr de M, fourniront le mme reste, en sorte qu'on aura 



{29) Esstf, (mod.M 2 ). 



Corollaire. Si M 2 surpasse 2V, la formule (29) donnera ncessairement 



(3o) E = N; 



et, par suite, une substitution quelconque U sera du nombre de celles pour 

 lesquelles peut se vrifier la formule (28). 



Supposons maintenant que les M substitutions conjugues 



1, P, Q, R,... 



soient prcisment celles qui n'altrent pas la valeur d'une certaine fonc- 

 tion 2. Soit, d'ailleurs, U l'une des substitutions pour lesquelles peut se vri- 

 fier la formule (5), ou, ce qui revient au mme, la formule (27). Si l'on 

 nomme Q.' ce que devient la fonction O quand on lui applique la substitu- 

 tion U, il est clair qu'on obtiendra encore Q! en appliquant 12, ou la substi- 

 tution UP, ou son gale fU, et par consquent en appliquant L la substitu- 

 tion *. Donc, alors, ' sera l'une des fonctions que n'altre pas la subtitution 9. 



