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Ajoutons que, dans la mme hypothse, les M substitutions qui n'altreront 

 pas la fonction Q.' seront videmment 



U, UP, UQ, UR,.... 



D'autre part, si U est l'une des substitutions qui transforment il en Q,', et si la 

 valeur de la fonction Q' n'est pas altre quand on lui applique l'une des substi- 

 tutions , '^, <&,..., par exemple la substitution , on pourra passer de Q' 

 l'aide de chacune des substitutions 



U, $U, 

 et revenir de Q' il l'aide de l'une des substitutions inverses 



Donc on n'altrera pas la fonction Q. en lui appliquant la substitution 



u- 1 U, 



et cette dernire substitution devra tre gale l'une des substitutions P,Q,R,..., 

 en sorte qu'on aura , par exemple, 



U-' U = P, 

 et par suite 



U = UP. 



De ces remarques il suit videmment que le nombre E des substitutions pour 

 lesquelles se vrifie la formule (27) est le produit de M par le nombre de celles 

 des fonctions 



qui ne sont pas altres quand on effectue les substitutions 1, $, ^,..., ou au 

 moins l'une d'entre elles. Donc ce dernier nombre est prcisment celui qui, 

 dans la formule (21), se trouve reprsent parla lettre DC. Il en rsulte aussi 

 que la formule (2 1) entrane le 1 er thorme de la page 976. 



Dans un prochain article, je montrerai comment , tant donnes les sub- 

 stitutions , P, on peut dterminer le nombre des substitutions U pour les- 

 quelles se vrifie la formule (27). J'tablirai ce sujet quelques nouvelles 

 proprits des substitutions qui sont semblables entre elles. 



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