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M. Biot fait hommage l'Acadmie d'uu exemplaire du troisime volume 

 de son Trait lmentaire d'Astronomie physique, troisime dition. 



RAPPORTS. 



analyse mathmatique. Rapport sur un Mmoire prsent l'Acad- 

 mie par M. Bertrand, et relatij au nombre des valeurs que peut prendre 

 une fonction , quand onj permute les lettres quelle renferme. 



(Commissaires, MM. Poinsot, Lam, Cauchy rapporteur.) 



Lorsque, dans une fonction de n variables, on permute les variables 

 entre elles de toutes les manires possibles, on obtient diverses valeurs dont 

 le nombre est prcisment le produit i.2.3...re. D'ailleurs deux quel- 

 conques de ces valeurs de la fonction peuvent tre, ou gales entre elles, 

 quelles que soient les valeurs attribues aux variables elles-mmes, ou g- 

 nralement distinctes, de manire ne pouvoir se confondre que pour cer- 

 tains systmes de valeurs des variables dont il s'agit. Enfin le nombre des 

 valeurs distinctes de la fonction est toujours, comme on le dmontre aisment, 

 un diviseur du nombre total des valeurs gales ou ingales, c'est--dire 

 du produit i . a 3... . n. Mais il n'est pas toujours possible de former une 

 fonction pour laquelle le nombre des valeurs distinctes soit un diviseur 

 donn de ce produit; par exemple, l'un des nombres entiers 



1,2, 3, ...,n. 



A la vrit, on peut, avec un nombre quelconque de lettres, former, outre 

 les fonctions symtriques, qui n ont qu'une valeur, des fonctions qui offrent 

 seulement deux valeurs distinctes; et l'on peut encore, daus le cas singulier 

 o l'on considre quatre lettres, former une fonction qui n'offre que trois 

 valeurs distinctes. Mais, d'autre part, un gomtre italien, M. Euffiui, a d- 

 montr qu'on ne peut, avec cinq variables, former une fonction qui offre 

 moins de cinq valeurs, si elle en a plus de deux; et un autre Italien, 

 M. Pietro Abbati, a tendu celte proposition au cas o la fonction renferme 

 un nombre quelconque de variables. En outre, l'un de nous a dmontr, il y 

 a environ trente ans, que, pour une fonction de n variables, le nombre des 

 valeurs distinctes, quand il est suprieur a, ne peut tre infrieur au plus 

 grand nombre premier contenu dans n. Enfin , dans le Mmoire qui ren- 

 ferme cette dmonstration, on trouve le passage suivant: 



