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// ii est pas toujours possible d'abaisser l'indice, c'est--dire le nombre 

 des valeurs d'une Jonction jusqu' la limite que nous venons d'assigner; et, 

 si l'on en excepte les Jonctions du quatrime ordre qui peuvent obtenir trois 

 valeurs, je ne connais pas de Jonc/ions non symtriques dont l'indice soit 

 infrieur l'ordre (au nombre des lettres), sans tre gal i. Le thorme 

 ci-dessus tabli prouve du moins qu'il n'en existe pas de semblables , quand 

 l'ordre de la Jonction est un nombre premier, puisque alors la limite trouve 

 se confond avec ce nombre. On peut encore dmontrer cette assertion, 

 lorsque n est gal 6 , en faisant voir qu'une Jonction de 6 lettres ne peut 

 obtenir plus de six valeurs, quand elle en a plus de deux. 



La dmonstration gnrale de la proposition que l'auteur du Mmoire 

 avait nonce dans ce passage, et qu il avait rigoureusement tablie dans le cas 

 o n est un nombre premier ou bien encore le nombre 6, est aussi l'un des 

 principaux objets des recherches dont nous avons rendre compte. M. Ber- 

 trand est effectivement parvenu la dmontrer, en supposant qu'il existe 



toujours un nombre premier p compris entre les limites n a et -, et en 



s'appuyant sur la considration des substitutions circulaires formes avec 

 p +- 1 lettres, partages en deux groupes dont l'un renferme p lettres, 

 et l'autre deux lettres seulement. Mais existe-t-il toujours, au moins quand n 



surpasse 7 , un nombre premier compris entre n a et - ? Cela est 



extrmement probable, et l'on peut, l'aide des tables des nombres pre- 

 miers, s'assurer de l'existence d'un tel nombre, au moins tant que n est 

 infrieur 6 millions. Ainsi , les calculs de M. Bertrand suffisent pour ten- 

 dre tout nombre qui ne surpasse pas cette limite, la proposition nonce. 

 Ils prouvent aussi que, pour une valeur de n infrieure cette limite, une 

 fonction de n lettres qui offre seulement n valeurs distinctes, est gnrale- 

 ment symtrique par rapport n 1 lettres. 



Parmi les nombres non premiers dont la valeur n'est pas trs-consid- 

 rable, il en existe deux seulement auxquels la dmonstration de M. Bertrand 

 ne s'applique pas : ce sont les nombres 4 et 6. M. Bertrand mentionne le 

 nombre 4 > qui, comme nous l'avons dj dit, fait exception la rgle gn- 

 rale. B aurait d, pour plus d'exactitude, mentionner aussi le nombre 6, et 

 observer que ip cesse d'tre suprieur , quand on a p = 3 , n = 6. D'ail- 

 leurs, comme nous l'avons rappel ci-dessus, le principal thorme se 

 trouve depuis longtemps dmontr, pour le cas o l'on a n = 6. 



>' Le Mmoire de M. Bertrand renferme encore quelques autres propositions 



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