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et, par suite , le nombre m des valeurs distinctes de i sera toujours un divi- 

 seur du produit N, c'est--dire du nombre des arrangements que Ion peut 

 former avec n lettres. Donc, si l'on forme la srie des nombres qui seront 

 propres reprsenter les diverses valeurs de /, tous les termes de cette srie 

 seront des diviseurs de N. Mais la proposition rciproque n'est pas vraie, et 

 tous les diviseurs de N n'entrent pas dans la srie en question. Nous allons, 

 dans cette Noie, rechercher les premiers termes de la srie , c'est--dire ceux 

 qui expriment les plus petites valeurs de m. 



D'abord, puisque, avec un nombre quelconque n des variables, on peut 

 toujours composer des fonctions symtriques, c'est--dire des fonctions qui 

 ne sont point altres par des changes quelconques oprs entre les varia- 

 bles, et mme des fonctions dont chacune offre deux valeurs distinctes; il 

 en rsulte que, pour une valeur quelconque de n, les deux premiers termes 

 de la srie forme avec les diverses valeurs de m seront toujours les nom- 

 bres 1 et 2. 



Il est d'ailleurs facile de s'assurer, i que toute fonction qui n'est altre 

 par aucune substitution circulaire du second ordre est ncessairement sy- 

 mtrique ; 2 que toute fonction non symtrique, qui n'est altre par au- 

 cune substitution circulaire du troisime ordre, offre seulement deux va- 

 leurs distinctes. 



Pour savoir quelles sont les valeurs que peut acqurir le nombre m 

 quand il devient suprieur 2, il convient de distinguer le cas o la fonc- 

 tion i est intransitive, et le cas o elle est transitive. 



Quand la fonction Q est intransitive, c'est--dire quand les substitutions 



M 



i, p, Q, a,...; 



qui n'altrent pas la valeur de 0, ont pour effet unique d'changer, spar- 

 ment entre elles, des variables que renferment divers groupes composs, le 

 premier, de a variables 



a, g, y,... ; 

 le second , de b variables 



le troisime, de c variables 



on a videmment 



(3)' 



n met et 4- b + c +..., 



