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riable x, et que , considr comme fonction des n i variables res- 

 tantes^ - , z, . . . , est ou une fonction symtrique, ou une fonction qui offre 

 seulement deux valeurs distinctes. On obtiendra, au contraire, la va- 

 leur -XJZL-J de m, en supposant que les variables se partagent en deux 



groupes dont l'un renferme deux variables x, y, et que est fonction sym- 

 trique des variables comprises dans chaque groupe. 



Voyons maintenant ce qui arrivera si 0. est une fonction transitive des 

 variables 



x , y, z r > . . '-, 



et cherchons d'abord, dans cette hypothse, quelles valeurs pourra prendre 

 le nombre m, s'il est infrieur n. 



* On rendra cette recherche plus facile, en commenant par tablir la 

 proposition suivante : 



2 e Thorme. Soient 0. une fonction transitive de n variables indpen- 

 dantes 



et m le nombre des valeurs distinctes de L. Si, dans cette fonction, l'on 

 peut faire passer trois places donnes trois variables quelconques arbi- 

 trairement choisies, m ne pourra s'abaisser au-dessous de n, sans tre 

 lun des nombres i, i. 



Dmonstration. Les substitutions circulaires du second ordre, qui 

 renferment la lettre x , savoir : 



(3) (x, /), (x, z),..., 



sont en nombre gal n i ; et , si l'on applique sparment chacune 

 d'elles la fonction i, ou obtiendra n i valeurs nouvelles de cette 

 fonction. Soient 



\ cr, r, ... 



ces mmes valeurs. Les n quantits 



(4) Oj \ Tj '",..., 



c'est--dire les n valeurs que pourra prendre la fonction i en vertu des 

 substitutions 



{x,x)= i, [x,jr), {x, z),..., 



