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 ue pourront tre toutes distinctes les unes des autres , si l'on a m < ?i. 

 Donc alors , le premier terme de la suite (4) sera quivalent l'un des 

 suivants, ou deux de ces derniers seront gaux entre eux. Dans le pre- 

 mier cas, la fonction ii ne sera point altre par une substitution circu- 

 laire du second ordre qui renfermera, outre la variable x, une autre va- 

 riable y. Dans le second cas, la fonction acquerra deux nouvelles va- 

 leurs ' gales entre elles, en vertu de deux substitutions circulaires du 

 second ordre, qui renfermeront, avec la variable x, deux nouvelles va- 

 riables y, z. Mais l'inverse d'une substitution circulaire du second ordre 

 tant cette substitution mme , si chacune des deux substitutions 



transforme il en LY, chacune d'elles transformera rciproquement ii' en 2 ; et, 

 en consquence, ne sera point altr par l'une quelconque des substitutions 

 du troisime ordre 



(x, y) (ar, z) = (x, z, y) , (x, z) {x, y) = (x, y, z). 



Enfin, si, la valeur de Q. n'tant pas altre par la substitution circulaire 



0>j) OU (X,jr, Z), 



on peut faire passer deux variables quelconques la place de x et de y, ou 

 mme trois variables quelconques, arbitrairement choisies, aux places pri- 

 mitivement occupes par x,y et z, il s'ensuivra que la valeur de 2 ne pourra 

 tre altre par aucune substitution circulaire semblable (x,y), c'est-- 

 dire du second ordre, ou par aucune substitution circulaire, semblable 

 (x, y, z), c'est--dire du troisime ordre. Mais alors 2 sera ncessairement, 

 ou une fonction symtrique , ou une fonction qui offrira seulement deux 

 valeurs distinctes. 



Corollaire. En vertu du a e thorme, si i, tant une fonction tran- 

 sitive de n variables, offre un nombre m de valeurs distinctes suprieur 

 2, le nombre m ne pourra s'abaisser au-dessous de , que dans l'un des 

 deux cas ci-aprs noncs , savoir : 



i. Lorsque 2 sera fonction transitive des n variables x, y, z, ... , et 

 fonction intransitive des n i variables y, z, . . . ; 



h a. Lorsque 2 sera fonction transitive, non-seulement des n variables 

 x,y, z, . . . , mais .encore des t variables y,z,...,et fonction intransitive 

 des ni variables z, . , . . 



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