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Or, dans le premier cas, m tant le nombre des valeurs distinctes d'une 

 fonction intransitive de n i variables, ne pourra, d'aprs le I er thorme, 

 tre infrieur n, moins que l'on n'ait 



m = n i , 



et que il ne devienne fonction symtrique de n a variables. Mais, d'aprs 

 ce qu'on a vu dans un prcdent Mmoire, page73o, 2, que l'on suppose tre 

 une fonction transitive et non symtrique de variables x,y,z, ..., ne 

 pourra tre en mme temps une fonction symtrique de a variables s,..., 

 que si l'on a 



n = 4 n i = 3. 



Dans le second cas, m tant le nombre des valeurs distinctes d'une fonc- 

 tion intransitive de a variables , les plus petites valeurs que m pourra 

 prendre seront, en vertu du I er thorme, le nombre n 2 et le plus petit 



des nombres 



, : {-n 2) ( 3) 

 a(n-a), '- 



D'ailleurs le nombre a (n a) ne peut devenir suprieur a sans de- 

 venir en mme temps gal ou suprieur n; et, quant au nombre figur 

 (a 2)(nr ) ^ .j ne p eut tre ^ j a o ^ s SU prieur a et distinct du nombre 



n a sans tre suprieur n i. Donc, en vertu du i er thorme, m ne 

 pourra, dans le second des cas deux noncs, s'abaisser au-dessous de n, 

 moins que l'on n'ait 



m = n a, 



et que 12 ne devienne fonction symtrique de n 3 variables. Mais alors 

 il, tant tout la fois fonction transitive de n, ou mme de n i variables , 

 et fonction symtrique de n 3 variables, devrait tre ncessairement 

 fonction symtrique de i, et, par suite, de n variables, quand on 

 aurait 



n- i >4, 



et mme lorsqu'on supposerait 



i=4 = 5. 

 Car, dans ce cas particulier, on trouverait n 3 = a , et les deux variable* 



