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dont serait fonction symtrique pourraient tre remplaces par deux va- 

 riables quelconques sans que la valeur de Q. ft altre. Donc, en dfinitive, 

 le seul cas o m pourra s'abaisser au-dessous de n sans tre l'un des nombres 

 1,2, sera le cas particulier o l'on aura 



n = 4 > m = 3 ; 



et l'on peut noncer la proposition suivante : 



3 e Thorme. Soit ii une fonction transitive de n variables indpen- 

 dantes 



et m le nombre des valeurs distinctes de 0. Le nombre m pourra se r- 

 duire, pour une valeur quelconque de n, l'unit ou au nombre i. Mais si m 

 devient suprieur a, il ne pourra tre infrieur n que dans le cas parti- 

 culier o l'on aura 



n = 4 , m = 3 , 



et o la fonction i) sera tout la fois transitive par rapport quatre varia- 

 bles, intransitive par rapport trois, et symtrique par rapport deux. 



Corollaire. La proposition prcdente est prcisment celle qui , dans 

 l'un de mes Mmoires de 1 8 1 a , se trouvait indique , pour une valeur quel- 

 conque de n, et rigoureusement dmontre pour le cas o n est ou un nombre 

 premier quelconque, ou le nombre 6. La dmonstration que M. Bertrand a 

 donne de la mme proposition s'appuie sur un lemme dont l'exactitude a 

 t vrifie , l'aide des Tables de nombres premiers , pour toute valeur de n 

 infrieure 6 millions. Mais on voit par ce qui prcde que, sans recourir 

 l'inspection des Tables de nombres premiers, on peut dmontrer rigoureu- 

 sement le a e thorme, quel que soit d'ailleurs le nombre n des variables com- 

 prises dans la fonction i. 



Je ferai voir, dans un prochain article, que si, le nombre n tant sup- 

 rieur io, le nombre m est suprieur n i , mais infrieur la limite 



, 



2 



on aura ncessairement, ou 



i 



m = n, ou ? = in. 



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