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tutions semblables aux proposes, qui pourront tre formes avec les varia- 

 bles que l'on considre, et sera prcisment le quotient qu'on obtient quand 

 on divise par ce dernier nombre le nombre des arrangements qui peuvent 

 tre forms avec ces variables. La rgle trs-simple que je donne, pour ob- 

 tenir l'une quelconque de ces solutions, consiste crire l'une au-dessus de 

 l'autre les deux substitutions donnes, en ayant soin de faire correspondre 

 les uns aux autres les facteurs circulaires composs d'un mme nombre de 

 variables, puis effacer les virgules et parenthses places entre les diverses 

 variables. Alors ces deux substitutions se trouvent transformes en de simples 

 arrangements qui sont prcisment les deux termes de la substitution cher- 

 che. Cette seule rgle fournit toutes les solutions de Y quation symbolique 

 linaire. La multiplicit des solutions provient, non-seulement de ce qu'on 

 peut, dans chaque facteur circulaire, faire passer la premire place une 

 quelconque des variables dont ce facteur se compose, mais aussi de ce 

 qu'on peut changer entre eux les facteurs circulaires de mme ordre , et sp- 

 cialement les facteurs circulaires du premier ordre, c'est--dire ceux qui 

 correspondent des lettres immobiles. 



Au lieu de supposer connues les deux substitutions semblables entre 

 elles que renferme une quation linaire symbolique , on pourrait supposer 

 connue l'une de ces substitutions, et dmander la valeur de l'autre, corres- 

 pondante une solution donne de l'quation linaire. Ce dernier problme 

 se rsout encore trs-simplement, mais d'une seule manire. Pour obtenir 

 la valeur unique de la substitution cherche , il suffit de faire subir aux va- 

 riables que comprend la substitution propose, les dplacements indiqus 

 par la solution donne de l'quation linaire, en oprant comme si ces va- 

 riables n'taient pas spares par des virgules et des parenthses, et comme 

 si leur systme reprsentait un simple arrangement. 



Des principes que je viens d'noncer on dduit, comme consquences, 

 diverses propositions qui sont d'une grande utilit dans la recherche du 

 nombre des valeurs qu'une fonction peut acqurir; et l'on arrive en particu- 

 lier dcouvrir les conditions qui doivent tre remplies pour que deux 

 substitutions soient permutables entre elles. Ces conditions peuvent tre ra- 

 menes deux. La premire condition est que les deux substitutions donnes, 

 rduites leurs plus simples expressions, soient dcomposables en substi- 

 tutions circulaires, ou du moins en substitutions rgulires dont les unes 

 soient formes avec des variables que renferme une seule des substitutions 

 donnes, et dont les autres, prises deux deux, renferment prcisment les 

 mmes variables. La srconde condition est que les substitutions rgulires 



