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termes deux des arrangements composs avec les variables x,y,z,...,on 

 pourra prendre pour dnominateur de ce rapport un quelconque de ces ar- 

 rangements, et par suite, en laissant toutes les variables en vidence,on pourra 

 prsenter la substitution P sous Jf formes diverses. Ainsi, par exemple, si l'on 

 prend n= 3, on aura N= 6, et la substitution du second ordre par la- 

 quelle on changera entre elles les deux variables x, y, pourra tre pr- 

 sente sous l'une quelconque des six formes 



yxz\ lr zx \_ ( xz y\ /*r*\ lv\ l**y 



xyzj ' \xzyj ' \yzxj ' \yxzj ' \zxyj ' \zyx 



Le nombre des formes que peut revtir une mme substitution P se 

 trouve notablement diminu lorsqu'on l'exprime l'aide des facteurs cir- 

 culaires dont elle est le produit, et que, pour reprsenter chaque facteur 

 circulaire, on crit entre deux parenthses les variables quil renferme, en 

 les sparant par des virgules, et plaant la suite l'une de l'autre deux varia- 

 bles dont la seconde doit tre substitue la premire. Alors le nombre des 

 variables comprises dans chaque facteur circulaire indique prcisment l'ordre 

 de ce facteur, et le plus petit nombre qui soit simultanment divisible par 

 les ordres des divers facteurs, reprsente l'ordre i de la substitution P. Alors 

 aussi toute variable qui reste immobile quand on effectue la substitution P, 

 doit tre cense comprise dans un facteur circulaire du premier ordre , qui 

 renferme cette seule variable, et, par suite, un tel facteur, reprsent par 

 l'une des notations 



est quivalent l'unit. Les facteurs circulaires du premier ordre dispara- 

 tront toujours , si la substitution donne P est rduite son expression la plus 

 simple. Mais ils reparatront ncessairement si l'on veut mettre en vidence 

 toutes les variables. Il importe de connatre le nombre des formes diffrentes 

 que peut revtir, dans cette hypothse, la substitution P. On y parvient ais- 

 ment de la manire suivante : 



Supposons, pour fixer les ides, que la substitution P, tant de l'ordre /, 

 renferme 



f facteurs circulaires de l'ordre a ; 

 g facteurs circulaires de l'ordre b; 

 etc., et enfin 



