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compose avec trois de ces variables, on pourra la prsenter sous la forme 



et, sans dplacer les parenthses, on pourra donner cette mme substitu- 

 tion six formes semblables , savoir : 



{x,y, a) ()("), (j, Z, X) ()(?), ( z > x , j)("> 

 (x, y, z){y){u\ (y, z, x){v)(u), (z, x, y) (y, u). 



II. Rsolution de l'quation linaire et symbolique par laquelle se trouvent lies l'une 

 l'autre deux substitutions semblables entre elles. 



Deux substitutions formes avec n lettres 



x, y, z,... 



seront semblables entre elles, si elles offrent le mme nombre de facteurs 

 circulaires, et si les facteurs circulaires de Tune et de l'autre, compars 

 deux deux, sont du mme ordre. Cela pos , nommons P lune quelconque 

 des substitutions relatives n variables 



x , y, z , . . . ; 

 et soient 



P P' P" 



les diverses substitutions semblables P, que l'on peut former avec ces 

 mmes variables. Supposons d'ailleurs que l'on reprsente chacune de ces 

 substitutions par le produit de ses divers facteurs circulaires, en mettant 

 toutes les variables en vidence, et en assignant aux parenthses des places 

 dtermines. Enfin , concevons que l'on donne chacune des substitutions 

 P, P', P", . . .. toutes les formes qu'elle peut revtir dans cette hypothse. 

 Si l'on nomme ts le nombre total des substitutions P, P', P", . - . , et w le 

 nombre des formes sous lesquelles se prsentera chacune d'elles, le produit 

 azs exprimera non-seulement le nombre total des formes que revtiront 

 la substitution Pet les substitutions semblables P,mais encore le nombre N 

 des arrangements divers que l'on peut former avec n variables. Car on devra 

 videmment retrouver tous ces arrangements, en supprimant les virgules et 

 les parenthses dans les diverses formes obtenues. On aura donc 



(1) cosr=iV, 



