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mme celles qui M seraient renfermes dans aucune des deux substitu- 

 tions P, Q, si ces substitutions taient rduites leur plus simple expression. 

 Il en rsulte que, les substitutions P, Q restant les mmes, le nombre des so- 

 lutions de l'quation symbolique linaire 



QR = RP 



crotra en mme temps que le nombre des variables x , jr, z, . . 7 . 



Pour claircir ce qu'on vient de dire, supposons que les substitutions 

 P, Q, rduites leur plus simple expression, soient deux substitutions cir- 

 culaires du second ordre, et que l'on ait 



P = (*,j), Q = (x,z). 



Si les variables x,jr, z , . . . se rduisent trois, alors , P tant prsent sous 

 la forme 



Q pourra tre prsent sous l'une des formes semblables 



et par suile la valeur de R devra se rduire l'une des substitutions 



/xzy\ (zx/\ 



Wv ' W z / ' 



ou , ce qui revient au mme , l'une des substitutions 



(j, z), (x, z,j). 



Si, au contraire, l'on considre quatre variables x, jr, z, u, alors, P tant 

 prsent sous la forme 



(* J) ( z ) (")> 

 Q pourra tre prsent sous l'une quelconque des formes semblables 



(X, Z) (jr) (m), (Z, X) (j) (u), (x, z) (u) (jr), (z, X) (u) (jr), 



et , par suite, R pourra tre l'une quelconque des quatre substitutions 



xzyu\ /zxyu\ {xzuy\ lzxuy\ 



xyzuj \xyzu) \xyzuj \xyzuj 



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