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 culaires, et mettant toutes les variables en vidence. Les substitutions P, U 

 seront permutables entre elles , si elles vrifient la formule 



(i) UP = PU. 



Donc alors U sera ncessairement l'une des solutions de la formule (x). Mais 

 il pourra se confondre avec l'une quelconque de ces solutions , dont le nombre 

 est prcisment u. Ajoutons qu'en vertu des principes tablis dans le prcdent 

 Mmoire, on devra, pour obtenir U, crire au-dessus de la substitution P, la 

 mme substitution sous une seconde forme semblable la premire, puis r- 

 duire les deux formes de la substitution P de simples arrangements , en sup- 

 primant les parenthses et les virgules places entre les variables, et prendre 

 ces arrangements pour les deux termes del substitution cherche. Comme, 

 en passant de la premire forme de P la seconde , on peut changer entre 

 eux arbitrairement les facteurs circulaires du premier ordre, forms avec les 

 variables immobiles qui disparaissent quand on rduit la valeur de P sa 

 plus simple expression , il en rsulte que, dans la substitution cherche U, ces 

 variables peuvent composer des facteurs circulaires quelconques. Donc, pour 

 obtenir les diverses valeurs de U, il suffira de multiplier les diverses substi- 

 tutions formes avec les variables immobiles de P, par les diverses valeurs 

 de U qu'on obtiendrait en laissant de ct ces mmes variables, et en suppo- 

 sant la valeur de P rduite sa plus simple expression. 



Ainsi la question peut toujours tre ramene au cas o les variables don- 

 nes seraient toutes comprises dans la substitution P, sans qu'il ft ncessaire 

 de les mettre en vidence. 



Plaons-nous maintenant dans cette dernire hypothse, et, pour bien 

 voir ce qui arrivera, examinons encore les diffrents cas qui peuvent s'offrir 

 nous, en commenant par ceux qui sont les plus simples. 



Si d'abord la substitution P se rduit un seul facteur circulaire, en 

 crivant, dans ce facteur, la suite de chaque variable celle qui devra lui. 

 tre substitue, il n'y aura plus d'arbitraire que l choix de la variable place 

 en tte du facteur dont il s'agit ; et les deux arrangements auxquels on r- 

 duira la premire et la seconde forme de P, reprsenteront les deux termes 

 d'une nouvelle substitution qui sera une puissance de P. Donc, la substitu- 

 tion U se confondra ncessairement avec l'une de ces puissances. Si la se- 

 conde forme de P n'tait pas distincte de la premire, la puissance de P qui 

 reprsenterait la substitution U se rduirait videmment l'unit. 



Supposons, en second lieu, que P soit une substitution rgulire qui- 



