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Les observations que nous venons de faire relativement aux variables 

 comprises dans le tableau (n), s'appliquent videmment tout systme de 

 variables comprises dans des facteurs circulaires de P, qui se trouvent chan- 

 gs entre eux quand on passe de la premire forme de P la seconde. De 

 telles variables sont toujours du nombre de celles qui se montrent la fois , 

 sans qu'il soit ncessaire de les mettre en vidence, dans les deux substitu- 

 tions P, U, supposes permutables entre elles; et, parmi les facteurs circu- 

 laires de ces deux substitutions, ceux qui renferment de telles variables don- 

 nent toujours pour produits respectifs deux substitutions rgulires S, C qui 

 peuvent tre formes, l'aide de divers tableaux analogues aux tableaux (1 7), 

 (18), (19), etc., suivant le mode que nous avons indiqu. 



D'ailleurs, d'aprs ce qu'on a vu prcdemment, si, des deux substi- 

 tutions P, U, supposes permutables entre elles et rduites leurs plus sim- 

 ples expressions, l'une renferme des variables qui ne soient pas comprise:-, 

 dans l'autre, ces variables pourront y tre groupes arbitrairement de ma- 

 nire composer des facteurs circulaires quelconques. En consquence , on 

 peut noncer la proposition suivante : 



i er Thorme. Soient P, U deux substitutions formes avec variables 

 .%, y, z,. . ., et supposons .ces deux substitutions rduites leurs expressions 

 les plus simples. Si elles sont permutables entre elles, leurs facteurs circu- 

 laires, dans le cas le plus gnral, seront de deux espces. Les uns renferme- 

 ront les variables comprises dans une seule des deux substitutions P, U, et 

 pourront tre des facteurs quelconques. Quant aux facteurs circulaires qui ren- 

 fermeront les variables communes aux deux substitutions, non-seulement ils 

 pourront tre groups entre eux de manire offrir pour produits des substi- 

 tutions rgulires qui, prises, deux deux, reprsenteront des facteurs com- 

 plexes et correspondants de P et de U, forms avec les mmes variables; 

 mais, de plus, les substitutions rgulires, qui reprsenteront les facteurs 

 complexes et correspondants de P et de U, pourront tre rduites la forme 

 de celles qu'on obtient dans le cas o, avec plusieurs systmes de variables, 

 on construit divers tableaux, qui renferment tous un mme nombre de 

 termes compris dans un mme nombre de lignes horizontales et verti- 

 cales, et o, aprs avoir plac ces tableaux, la suite les uns des autres, 

 dans un certain ordre, on multiplie entre eux, d'une part, les facteurs circu- 

 laires dont l'un quelconque offre la srie des variables qui, dans les divers 

 tableaux, appartiennent une ligne horizontale de rang dtermin; d'autre 

 part, les facteurs circulaires dont l'un quelconque offre la srie des variables 

 qui, dans les divers tableaux, appartiennent une ligne verticale de rang d- 



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