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Les nombres a, b, c,... seront tous ingaux entre eux , et l'on aura, non- 

 seulement 



(i) P=UVW..., 



mais encore 



(2) fa -h gb -\-hc +...= I. 



Ajoutons que, si l'on nomme i l'ordre de la substitution P, i sera le plus 

 petit nombre entier, divisible par chacun des nombres a, b,c,. . .. 

 Observons maintenant que les nombres 



a, b, c,. . ., 



tant tous ingaux , ne pourront tous offrir les mmes facteurs premiers , 

 levs aux mmes puissances. Donc , parmi les facteurs premiers de 1, on 

 pourra trouver un nombre premier /?, qui sera tel que les termes de la suite 



ou ne seront pas tous divisibles par p, ou , du moins , ne seront pas tons di- 

 visibles par la mme puissance de p. Alors 



pj 



1 



sera videmment une substitution rgulire de l'ordre p ; et cette substitu- 



i 



tion P p , rduite son expression la plus simple , cessera de renfermer les 

 variables comprises dans quelques-unes des substitutions rgulires 



savoir, dans celles de ces substitutions dont les ordres n'taient pas multiples de 

 la plus haute puissance dej> qui divise i. D'ailleurs , chacune des substitutions 0, 

 V, W, . . . dplacera deux variables au moins , si l'ordre i de la substitu- 

 tion P est un nombre pair, et trois variables au moins si l'ordre i est un 

 nombre impair. Donc le nombre des variables que dplacera la substitution 



i 



P p sera gal ou infrieur / 2 , si la substitution P est d'ordre pair, et 

 / 3 si la substitution P est d'ordre impair. Ajoutons qu'on pourra encore 



