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supposer ce nombre gal ou infrieur / 3, si, l'ordre i tant pair, 1 un des 

 entiers 



rt, b, c,. . ., 



a par exemple, est impair. Car, dans ce cas, on pourra prendre p = 2 , et 

 alors 



P^ 



sera une substitution rgulire du second ordre qui dplacera, au plus, l 3 

 variables, puisqu'elle cessera de comprendra les a variables renfermes dans 

 la substitution U. Enfin, il suit de la formule (2) que livn des entiers 



a , b, c, . . . 



sera certainement impair, si /, ou le nombre des variables comprises dans 

 P, est un nombre impair. Par consquent , on pourra noncer la proposi- 

 tion suivante : 



> i er Thorme. Soit P une substitution de l'ordre , qui dplace /varia- 

 bles, et supposons cette substitution irrgulire. Alors, parmi les puissances 

 de P, distinctes de l'unit, on trouvera une ou plusieurs substitutions r- 

 gulires, dont chacune dplacera / 2 variables au plus, si / et i sont des 

 nombres pairs, et / 3 variables au plus, si /ou /est impair. 



Soit maintenant il une fonction des n variables indpendantes x, j, 

 z,. . ., et nommons 



(3) 1, l>, Q, R,... 



les substitutions, conjugues entre elles, qui n'altrent pas la valeur de 

 cette fonction. Soit encore r le nombre des variables qui deviennent immo- 

 biles quand on effectue celles des substitutions P, Q, R ,. . . qui dplacent 

 le plus petit nombre de variables possible. Chacune des substitutions P, Q, 

 R,. . . dplacera au moins n /variables. Supposons d'ailleurs que, parmi 

 ces substitutions, l'une P soit irrgulire; nommons i son ordre, et / le 

 nombre des variables qu'elle dplace. Parmi les puissances de P distinctes de 

 l'unit, on trouvera toujours ( I er thorme) une substitution rgulire qui d- 

 placera li variables au plus, et celle-ci sera encore un terme de la suite (3). 



On aura donc 



/ 2 = ou > n r, 



/=ou>ra r-t-2. 



