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 Il y a plus; en vertu du i er thorme, on aura ncessairement 



/ 3= ou > n r, 



1= ou > r+3, 



si / est un nombre impair. On ne pourrait donc avoir prcisment 



l = n r + i 



que dans le cas o, / tant un nombre pair, /*= l 3 serait un nombre 

 impair. En consquence , on peut noncer la proposition suivante : 



2 e Thorme. Soient une fonction de n variables indpendantes x , y, 

 s,. . ., et rie nombre des variables qui deviennent immobiles quand on ef- 

 fectue les substitutions qui, en laissant intacte la valeur de ii, dplacent le plus 

 petit nombre de variables possible. Toute substitution qui, sans altrer , 

 dplacera n r ou n r-f- 1 variables, sera certainement une substitution 

 rgulire. Il y a plus; on pourra en dire autant de toute substitution qui, sans 

 altrer 0, dplacera n r + i variables, si r est un nombre pair. 



n Corollaire i er . Si la fonction il est altre par toute substitution circu- 

 laire du second ordre, on aura 



n r > a. 



Donc alors, en vertu du 2 e thorme, toute substitution P qui n'altrera pas 

 la valeur de sera ncessairement rgulire non-seulement quand elle d- 

 placera trois ou quatre variables seulement, mais aussi quand elle dplacera 

 cinq variables. 



Corollaire 2 e . Si la fonction i est altre par toute substitution r- 

 gulire du second ou du troisime ordre , on aura 



/i-r>3. 



Donc alors, en vertu du 2 e thorme, toute substitution P qui n'altrera pas 

 la valeur de Q, sera ncessairement rgulire quand elle dplacera quatre 

 ou cinq variables seulement. Elle pourrait devenir irrgulire , si elle d- 

 plaait six variables; par exemple, si l'on avait 



P = (^, J, z, u)(v,w). 



Effectivement si, en adoptant la valeur prcdente de P, on rduit aux d- 



C. B., l845, ?. me Semestre. {T. XXI, IN" 25.) '6l 



