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rives de P les substitutions conjugues qui n'altrent pas la valeur de L r 

 ces substitutions seront, avec i et P, les puissances de P suprieures la 

 premire, et distinctes de l'unit, savoir, 



P 2 -=(.r, zT(>, ), P 3 = (x, m, z,j;(^, iv); 



et, par consquent, le systme des substitutions conjugues qui n'altreront 

 pas la valeur de renfermera seulement, avec l'unit, deux substitutions 

 irrgulires du sixime ordre, et une substitution rgulire du second ordre. 

 Corollaire 3 e . Si la fonction est altre par toute substitution circu- 

 laire du second, du troisime ou du quatrime ordre, et par toute substi- 

 tution rgulire du second ordre forme avec quatre variables, on aura 



n r> !\. 



Donc alors, en vertu du i e thorme, toute substitution P qui n'altrera pa> 

 la valeur de i sera ncessairement rgulire, quand elle dplacera cinq , 

 six ou sept variables. 



analyse mathmatique. Mmoire sur diverses proprits des systmes de 

 substitutions , et particulirement de ceux qui sont permutables entre 

 eux; par M. Augustin Cauchy. 



Je me propose dans ce Mmoire de faire connatre plusieurs proprits 

 remarquables des systmes de substitutions; je montrerai plus tard le parti 

 qu'on peut tirer de cette connaissance dans la recherche du nombre des 

 valeurs distinctes d'une fonction de plusieurs variables. 



I er . Sur quelques thormes fondamentaux. 



Je commencerai par tablir la proposition suivante : 

 i er Thorme. Soit 



(.) i, P, Q, R,... 



un systme de substitutions conjugues , formes avec n variables x, y, z,... . 

 Soient d'ailleurs $ une autre substitution arbitrairement choisie, et 



d'autres substitutions, dduites de 'S par la rsolution des quations 



