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-dire les diverses puissances des substitutions <, ^, &,..., et plus gnra- 

 lement les produits de ces mmes substitutions multiplies l'une par l'autre 

 deux deux, trois trois , etc., de toutes les manires possibles. Effective- 

 ment, T tant un terme quelconque de la suite (i), soient 



S, S', S",... 



divers termes gaux ou ingaux de la suite (3). La formule (7) fournira suc- 

 cessivement plusieurs quations de la forme 



(8) 5T = S*, s 'S = S'S', S"S' = S" s", etc., 



S, S', S",. . . dsignant des termes de la 'suite (1), et s, s', s",. . . des termes 

 del suite (2). Or, des formules (8) on dduira successivement les quations 



(9) S' S T = S'S'S, S "S'S T = S"S"S'S, 



et celles-ci seront encore semblables la formule (7), avec cette seule diff- 

 rence que les substitutions 



S et 



s'y trouveront remplaces par les produits [ 



S'S et ', ou S"5'c et S"S'S,..., 



c'est--dire par des substitutions drives de $, ^, &,.... D'ailleurs, celles 

 de ces substitutions qui se trouveront reprsentes par les produits 



S'G, S"S'E,. . . 



pourront tre videmment des drives quelconques des 1 substitutions 

 * 1 x^ A, . . . . 



Le premier thorme tant ainsi dmontr, on peut en dduire imm- 

 diatement un grand nombre de propositions nouvelles que je vais successi- 

 vement indiquer. 



D'abord, si les substitutions P, Q , R,. . . se rduisent aux diverses puis- 

 sances d'une mme substitution P, alors, la place du I er thorme on ob- 

 tiendra la proposition suivante : 



i e Thorme. Soient P une substitution forme avec plusieurs variables 

 a, y, s, . . ., et i l'ordre de cette substitution, dont les diverses puissances 



