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mobile la variable x. Effectivement, nommons s la variable laquelle x 

 succde en vertu de la substitution <jP. On remplira videmment la condi- 

 tion nonce, en prenant pour P" celle des puissances de P qui substituera s 

 x , puisque alors la substitution inverse P~ a aura pour effet de substituer x 

 s, et, par consquent, de ramener x la place que cette variable occupait 

 primitivement. Ajoutons qu'une remarque semblable est applicable encore 

 chacun des nombres b , . . . , f, g, compris dans les valeurs de &., ...,<?, *> 

 dtermines par la seconde,..., lavant-dernire, la dernire des qua- 

 tions (8). On peut donc noncer gnralement la proposition suivante : 



i er TJiorme. Soit P une substitution circulaire de l'ordre/, forme avec i 

 variables 



x i Ji z , . . . . 



Nommons 9 une autre substitution qui renferme seulement quelques-unes 

 de ces variables, de manire laisser immobile une ou plusieurs d'entre 

 elles, par exemple la variable x. Enfin, nommons ^, &,..., "<?, 9 les 

 substitutions qui , en dplaant les seules variables jr, z,..., vrifient des 

 quations de la forme (8). Le systme des substitutions 9 , ^, *., . . . et de 

 leurs drives sera permutable avec le systme des puissances de la substitu- 

 tion circulaire P. 



Dans l'hypothse admise, les substitutions 



9, t, .,..., t>, <?, 



jointes leurs drives, composeront un systme de substitutions conjugues 

 dont chacune laissera immobile la variable x. Soit JK, l'ordre de ce systme. 

 Parmi les substitutions qu'il renfermera, aucune ne pourra se rduire une 

 puissance deP distincte de l'unit, puisqu'une telle puissance dplacera tou- 

 jours chacune des variables x,y, z,.... Donc le systme dont il s'agit et le sys- 

 tme des i puissances de P n'auront pas de termes communs autres qu l'unit. 

 Donc, en vertu des principes tablis dans la sance du 20 octobre, un troi- 

 sime systme, qui renfermerait toutes les drives des substitutions com- 

 prises dans les deux premiers, sera de l'ordre OXli. D'ailleurs, eu gard aux 

 formules (8) , ce troisime systme se rduira au systme des deux substitu- 

 tions 



P,9 



et de leurs drives des divers ordres. On peut donc noncer encore la pro- 

 position suivante : 



