( is5i ) 



a* Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le i cr thorme , 

 si l'on nomme 3\l l'ordre du systme qui renfermerales substitutions <P, Q,, &,..., 

 "<?, "J? et toutes leurs drives , 3\l>i sera Tordre du systme de substitutions 

 conjugues qui renfermera les drives diverses des deux substitutions 

 Pet 9. 



Il est important d'observer que, dans la srie des substitutions 



(9) t, *!.! <?, *>, 



dduites successivement de la substitution <% l'aide des quations (8), plu- 

 sieurs termes peuvent tre gaux entre eux. On peut mme affirmer que , 

 dans cette srie, prolonge partir d'un terme qui serait gal '-?, les termes 

 ^,, $.,... se reproduiront dans le mme ordre la suite les uns des autres. 

 Eu effet , supposons que l'un des termes de la srie (8) se rduise % et qu'en 

 consquence l'une des quations (8) soit de la forme 



(io) <?=P-'P>, 



j tant positif, m lis infrieur i i. On aura, par suite , 

 (ii) (P = V< 1 



et de cette dernire formule , combine avec les quations 



(12) <ep = p a ,, a>P 2 = P ji, etc. T 



on tirera successivement 



/ <P +, = P'$P =P' +a ^, 

 (i3) ) <P> +i =P l <2P i =P i+b si, 



( etc.; 



ou, ce qui revient au mme, 



(1 4) ^= p-'- $P> +i , A =s P- /_6 P + \ etc. 



Il y a plus; de la formule (1 1), jointe aux quations {12), on tirera non-seu- 

 lement 



(i5) *PV = P*'?P, 



