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 qui est trs-facile dmontrer. Ainsi les quations 



<p m (a)=o, y(-u) = o 

 n'tablissent entre a et a qu'une seule relation. De plus, si l'on fait 



on trouve que tp m (a) peut se mettre sous la forme 



(A) r(a) = 2 ( -^^n m (), 



I m (g) dsignant un polynme en , du degr m. Et c'est l'quation 



n m () = o 



qui fournira les racines dont nous avons parl tout l'heure. 



M. Serret, dans son premier travail, s'tait content d'crire la valeur 

 de II, sous la forme d'une double somme trs-complique ; mais , de nou- 

 velles recherches l'ont conduit depuis un rsultat d'une simplicit inespre. 

 Il a trouv 



(B) n( ) = ^iK. 



En particulier, pour m = n, et en posant = - -, on a donc 



I rf B .(ar' l)" 



u ~*-~3? f 



en sorte que les fonctions U, divises par i.i...n, concident avec les 

 fonctions X de Legendre, qui se prsentent dans le dveloppement de 



(i ixt-\- * 2 )" T . 



>> L'auteur a dmontr la proposition prcdente dans un Mmoire qu'il 

 vient de publier et dont il m'a charg d'offrir en son nom un exemplaire 

 l'Acadmie. La mthode dont il a fait usage conduit d'abord une relation 

 linaire entre trois fonctions IT m , II m4 .,, II m+2 , puis l'expression gnrale 

 indique ci-dessus, et enfin une quation diffrentielle du second ordre, 

 laquelle chaque fonction II m satisfait. Les gomtres en apprcieront toute 

 l'utilit d'aprs les rsultats importants qu'elle a fournis; toutefois, ils trouve- 



