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 ce qui donne 



il viendra 



(E) (g f )" _ y f " ^.g"(s i)" 



L'examen de diverses fonctions dans le dveloppement desquelles figu- 

 rent des quantits de la forme 



1x? ' 



m'avait conduit la formule (E). Voici comment j'en ai dduit ensuite la 

 valeur de <p m (a). 



5. Puisque Ton a 





( N (z aWz-f-a)" 

 d> (z) = i '- 



la drive <p m (z) concide avec le coefficient de u m v" dans le dveloppement 

 de 



dz n [z + a (z -+- a)v][ i (z a) a]' 



suivant les puissances croissantes des deux indtermines u et v. Or, la frac- 

 tion qu'on doit prsent diffrentier, considre comme fonction des, se 

 dcompose en deux fractions simples 



a av -f- (i v)z i +- au ;' 



- 



A = ' " f B _ . 



I +(a + 2flCJ U J + ( + !- 2c) H ' 



et , par suite , la drive de l'ordre m , divise par i . i . 3 . . . m, est gale 



( i)"A(i p) B" 



[a av + (\ c)z] m+1 (i -\-au uz) n+l ' 



Comme nous n'avons besoin que du coefficient de u m v" dans le dveloppe- 

 ment, nous pouvons supprimer le second terme qui contient partout le fac- 

 teur m" 1 " 1 "', puisque B contient le facteur u. En faisant z= a, on voit donc 



