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5. Chaque fonction n,() satisfait une quation diffrentielle linaire 

 du second ordre. Soit, en effet, 



x = v J / m + l \ m (-iY, d'o n m = 



rf"X 



En prenant la diffrentielle indice (n -+ i) de l'quation, facile vrifier, 



(? 2 -)^f+[-(" + ")]X = o, 

 on aura donc 



(-)^+ [(n-m + *) + m -n-i]^-m(n + i)n m = o, 



comme M. Serret la trouv. 



En gnral, les fonctions II dpendent de la variable et des in- 

 dices /n, n, qu'il conviendrait de mettre tous les deux en vidence, en 

 crivant 



n;() ou n,:, 



expression qui, d'aprs ce que nous avons vu, reprsenterait indiffremment 

 l'une ou l'autre des quantits quivalentes 



(n-m d-m p(-)-l) dt," 



On dduit immdiatement de l cette formule 



(F) n**!^**Wi 



qui permet de permuter entre eux les indices infrieur et suprieur. 



On peut introduire les fonctions II", dans le second membre de la for- 

 mule (E), qui devient alors 



ir n (C 0" _ _j v /" n - 



le signe V se rappoitant toujours n. 

 En diffrentiant les deux membres par rapport , et multipliant 



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