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 ensuite par t , on trouve aisment 



il en rsulte, par la comparaison des puissances semblables de t , 



mn . _ * d ^ dl - 



En diffrentiant, au contraire, l'quation (G) par rapport , et mul- 

 tipliant ensuite par ( <) (i ) , on verra que les deux quantits 



[-d + ^t + t*]^"-' u,: 



et 



[(iin-i)- m- ^^rnz 



sont gales entre elles. De l, entre trois fonctions conscutives 



Jl"+' TT'+' TT" 



la relation linaire 



(n + a) IP+ 1 = [(m -H + a) + n - m-t- i] IT+' - (n -+- 1) II:. 

 En changeant m en net neam, il s'ensuit 



(wn-2)n;; +, = [(w-+- + 2) + m-+i]n'; + ' -(m+i)n;". 



Si donc on permute , l'aide de la formule (F), les indices infrieurs et su- 

 prieurs , on en conclura 



C'est cette dernire relation que M. Serret a d'abord obtenue, et c'est par 

 elle qu'il a t conduit l'expression simple des fonctions II. 



En gnral , les divers dveloppements o les fonctions II entrent comme 

 coefficients mnent de nombreuses proprits de ces fonctions ; mais nous 

 n'avons pas l'intention, pour le moment, de suivre ces recherches. 



6. Terminons en donnant de la formule (E), qui nous a t si utile, une 



