( ia63 ) 



dmonstration nouvelle , plus lmentaire en ce sens qu'on n'y fait point usage 

 de la srie de Lagrange , et qui repose d'ailleurs sur des considrations toutes . 

 semblables celles dont nous nous sommes servis pour trouver <p m (z). 

 La drive 



rf"."( i)" 



est prcisment le coefficient de u m v" daus le dveloppement de 



d m i 



Sp(i p?)[i (S 1)]' 



suivant les puissances croissantes de u et v. Or, la fraction qu'on doit pr- 

 sent diffrentier, considre comme fonction de , se dcompose en deux 

 fractions simples 



A B 



i p l + 

 o 



A = -, r 5 B = ; r ; 



v (i cja v (i v)u 



de l, pour la drive de l'ordre m, divise par i .2. . ,m, cette valeur 



Ac" 1 B m 



(1 )" H -' (l-f- uX,) m+[ ' 



Gomme nous n'avons besoin que du coefficient de u m v", nous pouvons 

 supprimer le second terme qui contient partout le facteur m+1 , puisque B 

 contient le facteur u. Reste le second terme, savoir, 



dans le dveloppement duquel on doit chercher le coefficient de u'"v n \ cela 

 revient chercher le coefficient de v" dans le dveloppement de 



(t vf 



(i e)" 4 -' 



Nous sommes donc assurs que 



1 rf".( ^ 



1 . 2 ... m rf* 



164.. 



