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entranera la formule 



s-'s = P, Pr"; 



et, comme le premier membre de cette formule sera encore un terme 

 de la suite (i i), c'est--dire une substitution en vertu de laquelle x restera 

 immobile, le second membre devra remplir la mme condition. Donc, si l'on 

 conoit que x succde s en vertu de la substitution P, , et par consquent s 

 x en vertu de la substitution inverse Pp, la substitution Vf devra ramener 

 x la place de s , ce qui suppose l'= Z, et par suite, 



Pf = P*. 



Mais, lorsque cette dernire condition sera remplie , l'quation (20) donnera 



S = G, 



et par consquent elle ne poura tre admise , si l'on suppose S distinct de S. 

 Ce n'est pas tout : on prouvera encore de la mme manire que les divers 

 termes du tableau 



i, 9, Z, Si,-.., 



P, P, P^, P*,-.., 



; p,, p,*, p&, p,&,..., 



etc. , 



"a 1 , " ni* , "n 2K_> " n 2^i , 



seront tous distincts les uns des autres. Enfin, l'on peut affirmer que l'un 

 quelconque des termes du tableau (19) se confondra toujours avec l'un des 

 termes du tableau (21), c'est--dire que l tant un nombre entier quelcon- 

 que, et l'une quelconque des substitutions (1 1) , on pourra choisir un autre 

 nombre entier V et une autre substitution S prise dans la srie (1 1), de ma- 

 nire vrifier l'quation linaire 



(22) P,g = sp / . 



Effectivement, nommons s la variable qui succde h x, en vertu de la 

 substitution SP,. La substitution 6, dtermine par la formule (22), savoir, 



(23) s^Pr'sp,, 



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