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4 e Thorme. Si est une fonction transitive de n variables c,y,z,..., 

 le nombre m des valeurs distinctes de D considr comme fonction de ces 

 n variables sera encore le nombre m des valeurs distinctes de 2 considr 

 comme fonction des n r variables y , z, . . . . 



5 e Thorme. Avec un nombre quelconque n de variables , on peut tou- 

 jours former, non-seulement des fonctions symtriques dont chacune offrira 

 une seule valeur distincte, mais encore des fonctions dont chacune offre 

 seulement deux valeurs distinctes. 



Corollaire I er . Parmi les fonctions qui offrent deux valeurs distinctes, 

 on doit distinguer la fonction alterne, dont les deux valeurs sont gales au 

 signe prs, mais affectes de signes contraires. Telle est, en particulier, la 

 fonction de variables x,y, z. . . ., qui se trouve reprsente par le produit 



(8) ll = (.r-j)(.r-z)...(j-z)..., 



dont les facteurs sont les diffrences entre ces variables ranges dans un 

 ordre quelconque, et combines deux deux de toutes les manires 

 possibles. 



Corollaire 2 e . Si , tant une fonction de x , y, z, . . . qui offre seule- 

 ment deux valeurs distinctes 



on pose 



(9) U=^', V = 



la valeur de II tant dtermine par l'quation (8) , alors 



U et V 



seront videmment deux fonctions symtriques de x, y, z.... Or des for- 

 mules ^g) on dduit immdiatement l'quation 



(io) ii = u + vn, 



qui, comme Abel en a fait la remarque, dtermine la forme gnrale des 

 fonctions dont les valeurs distinctes sont au nombre de deux seulement. Il 

 est d'ailleurs vident que toute valeur de il, dtermine par l'quation (io) , 

 sera une fonction qui offrira seulement deux valeurs distinctes. 



Corollaire 3 e . Eu gard au 5 e thorme, le 3 e thorme comprend, 



