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" D'autre part, puisque considr comme fonction des quatre varia- 

 bles^ - , z, u, f, offrira six valeurs distinctes, par consquent quatre valeurs 

 gales, les substitutions distinctes de l'unit, qui dplaceront ces quatre 

 variables , sans altrer il, seront au nombre de trois seulement; et ces trois 

 substitutions, qui devront tre elles-mmes rgulires, pourront tre repr- 

 sentes par les expressions symboliques 



P'\ /P 3 \ /P< 



pj' U)' u 



c'est--dire qu'elles se rduiront aux suivantes 



(xzvyu\ ! xuyvz\ j xvuzy\ 

 xyzuvj \xyziiv / \xyzuv j 



que l'on peut crire sous les formes 



(j, 2, v, m), (j, , v,z), (j,^)(z,). 

 Elles se rduiront donc aux trois puissances 



Q, Q 2 , Q 3 



de la substitution du quatrime ordre 



(3) Q = (/, *> i ) = (p 

 Ce n'est pas tout : comme l'quation (3) donnera 



(4) QP = P 3 Q, 



on en conclura 



(5) Q*P A = P 2 *''Q*. 



Donc les drives des substitutions P, Q pourront toutes tre prsentes sous 

 chacune des formes 



Q*P", P A Q A ; 



et, par suite, le systme des puissances de P sera permutable avec le sys- 

 tme des puissances de Q. Donc les drives des deux substitutions P, Q, dont 



