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gomtrie. Communication verbale de M. Liouville. 



M. Liouville entretient l'Acadmie de quelques thormes qui lui 

 ont t communiqus par un gomtre de Dublin, M. Michael Roberts. 

 Ces thormes trs-intressants sont surtout relatifs aux lignes godsi- 

 ques et aux lignes de courbure que Ton peut tracer sur la surface d'un 

 ellipsode trois axes ingaux. M. Michael Roberts fait voir, par exemple, 

 que les lignes godsiques qui partent, dans toutes les directions, d'un des 

 ombilics de la surface, vont ncessairement aboutir l'ombilic oppos, o 

 elles arrivent avec des longueurs gales. Il prouve aussi que les lignes de 

 courbure, considres par rapport deux ombilics intrieurs, pris pour 

 foyers, offrent la plus grande analogie avec l'ellipse ordinaire, et pourraient 

 tre dcrites, comme elle, au moyen d'un fil attach par ses extrmits ces 

 points fixes. En effet, la somme des deux arcs godsiques mens des foyers 

 un point reste constante quand le point se meut sur la ligne de courbure 

 laquelle il appartient. On trouve la mme analogie avec l'hyperbole en 

 prenant pour foyers un ombilic intrieur et un ombilic extrieur. 



. M. Michael Roberts dmontre ces thormes d'une manire trs-simple en 

 partant de l'quation diffrentielle des lignes godsiques, mise sous la forme 

 p. 2 cos 2 i -+- v 2 sin 2 i = jS , que M. Liouville lui a donne dans le Journal de 

 Mathmatiques (tome IX, p. 4oi). Les dmonstrations de l'auteur reposent, 

 d'une part, sur ce que |3 a la mme valeur pour toute ligne godsique 

 passant par un ombilic quelconque; d'autre part, sur ce que, pour une va- 

 leur donue de /3, et en un point (|x, v), on n'a pour tang 2 i qu'une seule 

 valeur, en sorte que deux lignes godsiques qui rpondent une mme 

 valeur de /3, ne peuvent se rencontrer sur une ligne de courbure sans faire 

 avec elle, d'un ct ou d'un autre, des angles gaux. Ces lemmes qu'on ta- 

 blit immdiatement tant admis, soit MM' une ligne de courbure , et menons 

 des quatre ombilics au point M les arcs godsiques AM, RM, CM, DM. La 

 valeur de |3 restant la mme pour ces arcs , ils devront tous faire de divers 

 cts le mme angle avec MM'; donc ils seront deux deux le prolonge- 

 ment l'un de l'autre, et si A et C sont deux ombilics opposs, la ligne go- 

 dsique AM se continuera par MC jusqu'au point C. De plus, quand on passe 

 du point M un point infiniment voisin M', AM augmente ou diminue, 

 d'aprs un thorme de M. Causs, de la projection de MM' sur AM; cause 

 de l'galit des angles en M, CM diminue ou augmente de la mme quan- 

 tit. La somme ou l'arc total AMC conserve donc la mme valeur, quelle que 

 soit la direction primitive en A. On arrive de la mme manire aux galits 



