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AM 4- BM = constante, AM DM == constante. La longueur constante 

 de AMG est videmment celle du demi-primtre de l'ellipse, qui sur la 

 surface et dans un plan perpendiculaire l'axe moyen passe par les quatre 

 ombilics; mais il faut remarquer que les arcs indfinis AM , partant d'un 

 ombilic, s'expriment aussi par des arcs d'ellipses, quoique en gnral l'ex- 

 pression d'un arc godsique dpende des transcendantes abliennes. 



D'autres propositions se dduisent de ce que /3 conserve une mme valeur 

 pour toutes les lignes godsiques qui sont tangentes une mme ligne de 

 courbure. On conclut aisment de l que si deux lignes godsiques sont 

 tangentes deux lignes de courbure donnes, et se coupent angle droit , le 

 lieu de leur intersection aura tous ses points gale distance du centre de 

 l'ellipsode, et sera une sphro-conique; la condition de toucher une ligne 

 godsique donne pourrait tre remplace par celle de partir d'un ombilic. 

 Nous ajouterons encore ce thorme que M. Roberts ne parat pas avoir 

 aperu, mais qu'on dduit aisment de ce qui prcde, comme l'a remarqu 

 M. Chasles : Si deux lignes godsiques sont menes d'un quelconque des 

 points d'une ligne de courbure tangentiellement une autre ligne de cour- 

 bure de mme espce, la somme de ces deux lignes godsiques aura avec 

 l'arc intercept sur la seconde ligne de courbure une diffrence constante. 

 Cette proprit est analogue celle des ellipses planes homofocales. L'ana- 

 logie des lignes de courbure de l'ellipsode avec les systmes de coniques 

 planes homofocales se manifeste au reste sous diffrents points de vue; c'est 

 ce qu'on peut voir en particulier par le thorme suivant que cite M. Roberts , 

 et qui est d M. Mac-Cullagh : Les lignes de courbure de l'ellipsode se pro- 

 jettent sur les plans des sections circulaires, par des droites parallles l'axe 

 minimum de la surface, en coniques homofocales ayant pour foyers les pro- 

 jections des ombilics. Relativement aux sphro-coniques dont on a parl 

 tout l'heure , et dont l'quation sur la surface de l'ellipsode est de la forme 

 u? + y 2 = constante, M. Mac-Cullagh trouve qu'elles se projettent en cercles 

 concentriques. 



En terminant l'analyse des beaux rsultats obtenus par M. Michael 

 Roberts, M. Liouville fait observer que l'quation jy. 2 cos 2 i+v 2 sin 2 /=p, 

 dont cet habile gomtre s'est servi , revient une autre quation PD = con- 

 stante, que l'on doit M. Joachimsthal et qui se prte aussi trs-bien aux 

 considrations gomtriques; enfin, il rappelle que c'est M. Licobi qui a 

 ici ouvert la route et vaincu le premier les grandes difficults du sujet par une 

 dcouverte capitale, en intgrant l'quation des lignes godsiques sur un 

 ellipsode quelconque. 



