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 D'ailleurs , de la formule (45) il rsulte immdiatement que , si l'on nomme ^ 

 l'une quelconque des substitutions (Sg) , et s l'une quelconque des substitu- 

 tions (4o) , tout produit de la forme :^s sera en mme temps de la forme ^ , 

 les valeurs de ^ et de s pouvant varier dans le passage d'une forme l'autre. 

 En second lieu , une drive quelconque T des substitutions Q , R , S , 

 pourra toujours tre considre comme le produit de plusieurs facteurs, dont 

 les uns sej'aient de la forme ^, les autres de la forme s; et, dans un sem- 

 blable produit, deux facteurs conscutifs ^ ^' de la premire forme pour- 

 ront toujours tre rduits un seul facteur ^' de cette forme , puisque la 

 substitution ^^ reprsentera encore une drive des substitutions Q et R. 

 Donc , puisqu ou pourra aussi changer entre eux deux facteurs cons- 

 cutifs, dont l'un serait de la forme ^, l'autre de la forme S, en modifiant 

 convenablement leurs valeurs, on pourra toujours, l'aide de rductions 

 et d'changes successivement effectus , ramener la substitution T la 

 forme ^s, c'est--dire l'une des formes (40' ^^> ^ dsignant par S, s', 

 deux des substitutions (4o), on peut toujours rduire le produit s s' la 

 forme ^S^, et, par suite, la forme ^s. Il y a plus : comme on tire 

 gnralement de l'quation (35) 



(46) S^S, =,Q'S,_,SQ-', 



il est clair que la substitution T sera effectivement rductible l'une des 

 formes (4i), si Ion peut rduire tout produit de la forme 



la forme ^ , ou , ce qui revient au mme , la forme S^. D'ailleurs , si l'on 

 supposait Z r= o, on aurait 



/ = '= I, 



et, par suite, ,s serait effectivement de la forme 8^, s et ptant rduits 

 alors l'unit. Donc, pour constater l'existence de la fonction de six va- 

 riables qui , tant doublement transitive , offre trois valeurs distinctes , il 

 suffit de prouver que, / tant l'un quelconque des nombres entiers 

 I , a , 3 , 4 7 on peut toujours vrifier la formule 



(47) S, S = s^, 



en prenant pour s une des substitutions (38), et pour ^ l'une des substitu- 

 tions (39). 



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