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 trouve immdiatement 



(49) S,S^S=(f,z,u,v,w) = Q, S,S^S=(f,w,v,u,z) = Q-*. 

 Quant aux deux produits 



qui peuvent encore tre prsents sous les formes 



et qui sont, en consquence, quivalents aux deux substitutions 



(u,v){z,w), (,z)(j, (;), 



ils ne sont certainement pas de la forme Q*; mais ils seront de la forme RQ*, 

 si le produit de chacun d'eux par R se rduit une puissance de Q. Or, 

 comme on trouve effectivement 



RSS,S = (j, w, V, u, z) = Q~\ RSS4S= (j, z, u, v, w) = Q, 

 on en conclura 



(50) SS,S = RQ-' =QR, SS,S = RQ = Q-' R. 

 Donc, en dfinitive, chacun des produits 



se rduit une drive des substitutions Q, R; et, par suite, on peut, avec 

 six variables indpendantes 



x,j, s, u, V, w, 



composer des fonctions qui, tant doublement transitives, offrent douze va- 

 leurs distinctes. Ajoutons que, pour caractriser une telle fonction, il sufft de 

 dire qu'elle n'est altre par aucune des trois substitutions 



Q = (jr, z,, t., w), l\{j,w)(z,v), S = {x,u){f,w). 

 Il y a plus : comme on tire des formules (5o) 



R = SS, SQ = Q-' SS, S ^ QSS, S = SS, SQ-', 



