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 rangs dans un nouvel ordre, quand on prend pour T certaines substitutions 



(7) U, V, W,... 



non comprises dans la srie (i). .Soient d'ailleurs 



(3) v, -, \v,. . . 



ce que deviennent les substitutions (7), quand on les exprime non phis 

 l'aide des variables x, j,z,. . ., mais l'aide des variables x, y, z,. . . . Si la 

 fonction x est telle que tous les ternies de la srie (8) soient trangers la 

 srie (4), alors, pour obtenir une valeur de Q qui offre gnralement M va- 

 leurs gales, il suffira de recourir l'quation (5), et de rduire F (x,y, z,...) 

 une fonction de x, y, z,. . . qui, n'tant jamais altre par aucune des 

 substitutions (4), soit, au contraire , toujours altre par chacune des sub- 

 stitutions (8). 



Il importe d'observer que les formules et les calculs auxquels on est 

 conduit par la marche ci-dessus trace se simplifient quand on prend 

 pour x une fonction de x, j^, z,. . . qui jouit de la proprit de n'tre pas 

 altre par une ou plusieurs des substitutions P, Q , R , . . . . 



Diverses applications des principes expos* dans ce Mmoire formeront 

 le sujet d'un nouvel article. 



GOMTRiK. Sur les lignes godsiques et les lignes de courbure des 

 surfaces du second degr ; par M. GnASiES. 



A l'occasion de mon Mmoire sur la construction gomtrique des am- 

 plitudes des fonctions elliptiques(j), M. Liouville a entretenu l'Acadmie d'une 



(l) Comptex rendus des sances de l'Acadmie, t. XIX, p. laSg, sance du 9 d- 

 cembre i844- Dans ce Mmoire, qui contient plusieurs constructions gomtriques de 

 l'quation des trois amplitudes cos cos' zpsinip sinip' y/i c'sin'ft = cosp, j'ai dit qu'il 

 s'en trouvait une qui ralisait l'extension que laissait dsirer la construction donne par 

 M. Jacobi pour la multiplicatton des fonctions, au moyen d'une portion de polygone inscrite 

 un premier cercle et circonscrite un second dtermin convenablement. Je ne connaissais 

 le Mmoire de M. Jacobi que par le troisime supplment au Trait des fonctions elliptiques 

 de M. Legendre, et le Trait lmentaire des fonctions elliptiques de BI. Verhulst (Bruxel- 

 les, i84i, in-8), o celte construction semble tre reproduite intgralement, sans qu'aucun 

 indice fasse souponner que l'illustre gomtre de Knigsberg ait construit l'quation gn- 

 rale des trois amplitudes. Je n'aurais pas imagin que M. Lpgendre surtout, qui reproduisait 



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