( 65 ) 



i> Cette proposition drive elle-mme d'un thorme sur les surfaces dont 

 les sections principales sont dcrites des mmes foyers, surfaces que j'appel- 

 lerai homojocales, parce qu'elles ont les mmes com(\ue.i focales ou 'O'C'w- 

 /r/^Mej. Voici renonc de ce thorme que je vais prendre pour point de 

 dpari : 



Thorme. Etant donne une surface du second degr A , si par un 

 point quelconque de l'espace M on mne les normales aux trois surfaces 

 homojocales qui passent par ce point, et qu'on porte sur ces normales 

 trois segments gaux, respectivement , aux trois demi-axes majeurs de ces 

 surfaces, puis qu'on considre ces segments comme les trois demi axes 

 principaux d'un ellipiode; cet ellipsode, qui sera compltement dtermin, 

 jouira des proprits suivantes : 



" i". // passera par le centre de la surface A, et sera tangent, en ce 

 point, au plan principal normal l'a-ye majeur de cette surface; 



2. La section de cet ellipsode par son plan diamtral parallle ce 

 plan principal, sera une ellipse toujours de mme grandeur, quelle que soit 

 la position du point M dans l'espace. 



La deuxime partie de cette proposition fait reconnatre aisment que : 



" Les axes principaux de cette ellipse constante sont parallles ceux 

 de la focale de la surface A, comprise dans son plan principal en question, 

 et que les carrs de ces axes sont gaux, au signe prs, ceux de cette 

 focale [\). 



Les deux parties de ce thorme fondamental se trouvent dmontres, 

 parmi plusieurs propositions sur les surfaces homofocales, dans mon Aperu 

 historique {pages 363 365 ). Ce thorme est susceptible d'un yrand nombre 

 de consquences, mais je vais me borner ici la proposition qui se rapporte 

 aux lignes godsiques. 



(i) J'ai appel coniques focales ou excentriques , d'une surface du second degr, trois 

 coniques (dont une est toujours imaginaire) qui donnent lieu, par rapport la surface, 

 une thorie analogue celle des foyers dans les sections coniques. Ces courbes taient con- 

 nues, mais d'autres titres, ainsi que j'ai eu l'occasion de le dire devant l'Acadmie 

 {Comptes rendus, t. XVI, p. 833 et 1107); et les questions dans lesquelles elles s'taient 

 prsentes n'indiquaient nullement la thorie nouvelle dont elles devaient tre le fondement. En 

 xposant, pour la premire fois, cette thorie dans mon Jpercu, historique (pages 384-399), 

 j'ai fait connatre une cinquantaine de thormes gnrau.x qui s'y rapportent , et j'ai indiqu 

 plusieurs questions dans lesquelles ces thormes trouvent une application tendue. Depuis, 

 on a donn quelques proprits de ces courbes, relatives leurs points considrs isol- 



