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Que par le point M on mne un plan transversal quelconque L , ou plutt 

 supposons que le point M soit pris dans un plan donn L. Soient/, i', i" les 

 angles que les normales aux surfaces homofocales la surface propose A, 

 qu'on peut mener par le point M, font avec ce plan; et soient p, jj,, v les trois 

 demi-axes majeurs do ces surfaces. Ce sont les trois demi-axes principaux de 

 1 ellipsode qui a son centre en M. f^a somme des carrs des perpendiculaires 

 abaisses des extrmits de ces trois demi-axes sur le plan \i est 



j&^ sin* i + /x' sin^ /' + v' sin^ V ; 



cette somme est gale celle des carrs des perpendiculaires abaisses des 

 extrmits de trois demi-diamtres conjugus de l'ellipsode. Prenons pour 

 ces trois demi-diamtres celui qui aboutit au centre de la suface A et les 

 deux axes principaux de l'ellipse du thorme prcdent. Ces deux axes , 

 d'aprs ce thorme, sont toujours les mmes, en grandeur et en direction , 

 quel que soit le poiiit M; de sorte que les trois perpendiculaires auront, 

 respectivement, les mmes longueurs, quelle que soit la position du point M 

 dans le plan L. Ainsi Ton a 



p* sia* I -+- fx* sin* V -4- v* sin* v = constante. 



Pour dterminer cette constante, remarquons que, dans la srie des 



surfaces homofocales la surface A, il en est une qui touche le plan L; soit a 



le'demi-axe majeur de cette surface; au point oi elle touche le plan, les 



deux autres surfaces homofocales qu'on peut faire passer par ce point auront 



leurs normales comprises dans le plan, d sorte que pour ce point l'quation 



sera simplement 



a} =^ constante. 



Ainsi la constante est le carr du demi-axe majeur de la surface tangente au 



ment ou deux deux. Mais on s'est mpris sur le caractre de ces proprits , en appelant ces 

 Yioints des foyers conjugus, et en croyant que les propositions qui s'y rapportent constituent 

 ^ thorie en question. Je le rpte, ce sont les courbes elles-mmes qui reprsentent, dans 

 une surface du second degr , chacune individuellement, les foyers d'une conique, et non 

 leurs points, pris isolment ou deux deux. Il faut qu'en supposant que la surface se rduise 

 une conique , parce que l'un de ses axes de^'ient nul, les proprits relatives ses focales 

 deviennent prcisment les proprits des foyers des coniques. C'est cette condition , je puis 

 dire ce critrium , qu'on reconnatra si ds proprits de ces fociles sont les analogues de 

 pelles des foyers dans les coniques , et constituent la thorie en question. 



