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 plan L. crivons donc 



p^ sin* / + fjt," sin* i' -+- s* sin' /" = a*. 



Cette quation exprime ce tliorme : 



THiiouKME. Etant donne une surface du second degr ^ et un plan 

 tant men arbitrairement dans V espace, si en chaque point de ce plan ou 

 conoit les normales aux trois surfaces homofocales la propose, qui 

 passent par ce point, et qu'on porte sur ces normales, respectivement, des 

 segments gauv aux demi-axes majeurs des trois surfaces, la somme des 

 carrs des perpendiculaires abaisses des extrmits de ces trois segments, 

 sur le plan, sera constante, et gale au carr du demi-axe majeur de la 

 surface hoinofocale qui serait mene tangentiellement au plan. 



C'est ce thorme qui va nous conduire aux proprits de la ligne go- 

 dsique. 



" Concevons que le plan L passe par la normale en un point m de la sur- 

 tace A ; en ce point l'angle / est nul, et l'quation se rduit 



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(i)' |tx*sin*i' + v^sin* /" = a 



i' et i" sont les angles que les normales aux deux lignes de courbure de la 

 surface, qui se croisent en m, font avec la direction mm' de la trace du 

 plan sur la surface. Cette quation nous apprend donc que : 



Etant pris sur une surface du second degr un lment infiniment 

 petit mm' faisant, avec les normales aux deux lignes de courbure qui se 

 croisent en m , des angles V , i", l'expression ( p.' sin^ /' + v^ sin^ i" ) reprsente 

 le carr du demi-axe majeur de la surface homojbcale la surface A , qui 

 serait tangente au plan dtermin par l'lment mm' et la normale en ni. 



Appliquons au point m' l'quation gnrale , on aura 



/3* sin' i^ 4- fif sin* i\ + v, sin" i", = a*; 



I, est l'angle que la normale en /w' fait avec le plan L, et/',, i* sont les angles que 

 les normales aux deux lignes de courbure qui se croisent en m' font avec ce 

 mme plan. Or, d'une part, l'angle/, est infiniment petit, de sorte que le 

 premier terme de l'quation est un infiniment petit du second ordre , qui 

 disparat; et Tquation 5e rduit 



(a) jU,Jsin"/', -f-v^sin^i", = a*. 



D'une autre papt, les angles /', , i\ diffrent infiniment peu des angles que 



