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les normales aux lignes de courbure en m' font avec la trace du plan L sur 

 la surface, c'est--dire avec l'lment inm, parce que ce plan diffre infini- 

 ment peu du plan normal en m'. Nous supposerons donc que i[^, i\ repr- 

 sentent ces angles eux-mmes dans notre quation (2). 



Il suit de l, d'aprs le thorme conclu de l'quation (i), que le pre- 

 mier membre de l'quation (a) reprsente le carr du demi-axe majeur de 

 la surface homofocale qui serait tangente au plan normal en m', men par 

 l'lment m'm. Donc, d'aprs cette quation (2), cette surface est la mme 

 que celle laquelle est tangent le plan normal en m. On a donc ce thorme : 



11 Si par deux points infiniment voisins m , m', pris sur une surface du 

 second degr, on mne les deux plans normaux la surface en m et m', 

 respectivement, ces deux plans seront tangents une mme surface homo- 

 focale la propose. 



n On conclut immdiatement de l cette premire proprit des lignes 

 godsiques : 



Les plans Qsculateurs aux diffrents points d'une ligne godsique tra- 

 ce sur une surface du second degr sont tous tangents une autre sur- 

 face du second degr homofocale la premire. 



Il suit de l que l'quation (1) s'applique, avec la mme constante a, 

 tous les points de la ligne godsique ; d'o rsulte cette seconde proprit: 



)i i' et i" tant les angles que la ligne godsique fait en chacun de ses 

 points avec les normales aux deux lignes de courbure de la surface en ce 

 point, et ix,v tant les paramtres de ces deux lignes de courbure (c'est-- 

 dire les demi-axes majeurs des deux surfaces homofocales sur lesquelles 

 elles se trouvent ), ona la relation constante 



jui'' sin* i' 4- V* sia" i" = a' , 



dans laquelle a est le demi-axe majeur de la surface homofocale laquelle 

 tous les plans osculateurs de la ligne godsique sont tangents (*). 



Voil donc la dmonstration de l'quation des lignes godsiques , et 

 cette dmonstration, comme on voit, fait connatre une expression gom- 

 trique de la constante, qui constitue une proprit importante des lignes 

 godsiques. 



(*) CeUe quation s'applique une ligne droite trace dans le plan d'une srie de coni- 

 ques , ellipses et hyperboles, dcrites des mnies foyers. L'une de ces courbes peut tre 

 considre comme un; surface infiniment aplatie , dont les autres courbes sont les lignes de 

 courbure. 



