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Puisque tous les plans osculateurs de la ligne godsique sont tangenls 

 une mme surface honiofocale la propose, leurs intersections successives 

 sont des droites taugnies elles-mmes cette surface; or, ces intersections 

 sont les tangentes la ligne godsique; on peut donc dire que : 



Toutes les tangentes une ligne godsique trace sur une surface du 

 second degr sont tangentes une seconde sur/ace homojocale la pre- 

 mire. 



Leurs points de contact, sur cette surface, forment une courbe dont 

 nous ferons connatre plus loin une proprit gnrale. 



Cette surface rencontre la surface propose A suivant une ligne de cour- 

 bure. Au point o la ligne godsique rencontre cette ligne, sa tangente est 

 ncessairement la tangente la ligne de courbure , car c'est l la seule droite 

 tangente la seconde surface. Donc, toutes les lignes godes iques rpon- 

 dant aune mme constante a. sont tangentes une mme ligne de courbure. 

 De sorte que la ligne de courbure est lenveloppe de toutes les lignes god si- 

 ques; et la proprit commune ces lignes et leur enveloppe, c'est que 

 leurs tangentes sont toutes tangentes une mme surface homofocale la 

 propose {i). 



" Cela donne une construction trs-simple pour dterminer, en chaque 

 point dune surface, la direction de la ligne godsique qui serait tangente 

 une ligne de courbure donne. 



On conclut de ces considrations, en particulier, que : Toutes les tan- 

 gentes une ligne godsique issue d'un ombilic vont percer le plan dia- 

 mtral dans lequel sont situs les ombilics, en des points situs sur la conique 

 focale comprise dans ce plan. 



" M. Joachimsthal a dmontr la proprit suivante, commune aux lignes 

 godsiques et aux lignes de courbure : 



P tant la perpendiculaire abaisse du centre de la surface sur son plan 

 tangent en un point d'une ligne godsique, et D le demi-diamtre de la 

 surface parallle la tangente cette courbe en ce point, on a PD = con- 

 stante; 



Et une quation semblable a lieu aussi pour toutes les tangentes une 

 ligne de courbure (2). 



(i) Les arcs de ces courbes compris entre deux points de contact conscutifs sur la ligne de 

 courbure enveloppe sont tous de mme longueur, non-seulement pour une mme ligne 

 godsique, mais pour toutes les lignes godsiques tangentes la mme ligne de courbure. 



(2) Journal de Mathmatiques de M. Crelle; t. XXVI; i843. 



C. l\., .S46, I" Semestre. (T. \M1 , -No 2.) O 



