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M. Lioiiville a fait observer que l'quation PD = constante des lignes 

 j^odsiques, revient l'quation |u.*sin*/'+ v*sin't" = constante, c'est--dire 

 que l'une comporte l'autre. En effet, on passe de l'une l'autre par un calcul 

 analytique , comme l'a fait depuis M. Ghelini (i). 



Notre thorme gnral sur les surfaces homofocales se prte aussi 

 cette transformation ; car, par les proprits de cette ellipse constante dont 

 il a t question, on est conduit aisment au thorme suivant : 



Si en un point m d'une surface du second degr on mne une tangente 

 faisant, avec les normales aux deux lignes de courbure en ce point, des 

 angles V , i" , on aura la relation 



[i? sin" i' + V* sin* i" = a* 



P'D' 



dans laquelle a, b, c sont les trois demi-axes de la surface; D son demi- 

 diamtre parallle la tangente, P la perpendiculaire abaisse du centre 

 sur le plan tangent la surface en m , et enfin p. et v les paramtres des 

 deux lignes de courbure qui se croisent en ce point. 



>' Ce thorme, qui exprime une proprit gnrale des surfaces du se- 

 cond degr, comprend l'quation PD = constante, commune aux lignes go- 

 dsiques et aux lignes de courbure. 



Si maintenant on remplace le premier membre de l'quation par sou 

 expression gomtrique trouve prcdemment, il vient 



pa) __ .r__i_. 

 a' a' 



Ce qui exprime cette autre proprit remarquable des surfaces homofocales : 

 " Pour toute tangente commune deux swfaces homofocales [d'espce 



diffrente)^ on a, relativement chaque surface, V quation PD = constante. 

 Il De l on conclut que : 

 La courbe que les tangentes une ligne godsiquejorment par leurs 



points de contact sur la seconde surface, admet les mmes quations que la 



ligne godsique , savoir t 



jx^ sin* i' + V* sin' i" = constante et PD =: constante , 



D et les angles i', i" se rapportant, non plus la tangente la courbe, mais 

 sa tangente conjugue. 



(i) Sulla ciirvaltira dcllc linee e dlie superficie e sulle linee geodesiehe. 



