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En effet , ces tanfjentes conjugues sont les tangentes mmes de la ligne 

 godsique, de sorte qu'elles sont tangentes la premire surface. Donc, 

 pour chacune de ces tangentes, les deux quations ont lieu. 



Voici une autre proprit des lignes godsiques ,qui drive naturelle- 

 ment des considrations prcdentes. Concevons la surface dveloppable 

 circonscrite une surface du second degr suivant une ligne godsique. 

 Chaque point de l'arte de rebroussement de cette surface sera le sommet 

 d'un cne dont la courbe de contact avec la surface passera par trois points 

 y conscutifs de la ligne godsique ; c'est--dire que cette courbe de contact 

 sera dans le plan osculateur de la ligne godsique. Or, ce plan osculateur est 

 tangent une mme surface du second degr; donc le lieu des sommets des 

 cnes est sur ime troisime surface du second degr, qui sera la polaire de 

 la deuxime par rapport la premire. On peut donc dire que: 



" La surface dveloppable circonscrite une surface du second degr a 

 son arte de rebmussement situe sur une autre surface du second degr ; 



Et cette seconde surface est la mme pour toutes les lignes godsi- 

 ques tangentes une mme ligne de courbure. 



La proprit de la ligne godsique, que ses tangentes sont toutes tan- 

 gentes une seconde surface du second degr , peut se dmontrer direc- 

 tement. 



') En effet, concevons sur une surface A, deux lments conscutifs /ram', 

 m' m" d'une ligne godsique. Il existe une surface B homofocale la sur- 

 face A , qui touche en un point n la tangente mtn' , et il n'en existe qu'une (i). 

 Le plan tangent en cette surface et le plan tangent en m la surface A 

 sont angle droit (a). Or, le plan des deux lments mm' , m' m" est normal 

 la surface A; donc ce plan est lui-mme le plan langent en n la surface B. 

 Donc la droite m' m" , comprise dans ce plan et infiniment voisine de la 

 tangente en n, est elle-mme tangente la surface B. Ainsi, deux tangentes 

 conscutives la ligne godsique sont tangentes la mme surface B. Donc 

 une troisime tangente m'm" sera tangente cette mme surface; et ainsi des 

 autres. Le thorme est donc dmontr. 



( I ) Eo effet , une des proprits les plus importantes des surfaces homofocales , c'est qu'on 

 peut les considrer comme tant toutes inscrites dans une mme sui-face dveloppable. 

 ( Aperu, page 897 ). Il s'ensuit que les polaires d'une mme droite, prises par rapport 

 ces surfaces , forment un hyperbolode une nappe. Cet hyperboloide rencontre la droite en 

 deux points, qui sont les points de contact de la droite avec deux des surfaces. 



(?,) Apera historique, page Sga ; art. 53. 



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