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sique. Les tangentes aux diffrents points m, m',... de cette ligne sont toutes 

 tangentes la surface A en des points n, n',. . .; elles sont les directions que prend 

 le brin du fil fix en P, pour venir s'appliquer sur cette surface A, quand le 

 stylet le tend. Elles forment donc une surface dveloppable tangente la sur- 

 face A. Considrons ces deux surfaces comme le prolongement l'une de l'autre 

 partir de leur courbe de contact nn'n"... ; elles formeront une nappe con- 

 tinue, puisqu'elles se raccordent suivant cette courbe. J'appellerai cette 

 nappe la surface compose. Le fil tendu par le stylet sera, dans chacune de 

 ses positions , une ligne godsique sur cette surface. En effet, sa partie com- 

 prise sur A, entre le point n et le stylet s, est une ligne godsique; sa partie 

 comprise de n en m est aussi une ligne godsique puisqu'elle est droite; 

 il y a donc simplement prouver que le plan des deux premiers lments 

 du fil, de part et d'autre du point , lequel est le plan osculateur de la 

 ligne mixtiligne forme par le fil, est normal notre surface. Or, cela a lieu, 

 car ce plan comprend deux tangente? la surface B: l'une est le fil recti- 

 ligne nin^i et l'autre est dirige suivant le premier lment curviligne partir 

 du point n. Or, les deux tangentes considres ici sont infiniment voisines ; 

 elles dterminent donc le plan tangent la surface B en son point m. Mais 

 ce plan est normal au plan tangent la surface A en son point , puisque 

 la droite mil est une tangente commune aux deux surfaces (i). 11 est donc d- 

 montr que le plan osculateur en n la ligne mixtiligne forme par le fil, est 

 normal la surface A, et consquemment notre surface compose. 11 s'en- 

 suit que le fil forme sur cette surface une lijjne godsique. 



n Cela admis, soient *, s" denx positions infiniment voisines du stylet; et 

 sniP, s'm'P les deux positions du brin fix en P, ?n et m' tant les points o 

 la partie rectiligne du fil touche, dans ces deux positions, la surface B. La 

 ligne /?j/7i'P est une ligne godsique dont mm' est un lment; de sorte que m 

 est un point commun aux deux fils Pm'ms, Vm'ms'. Ces deux fils formant sur 

 la surface compose deux lignes godsiques, leur diffrence, d'aprs le tho- 

 rme connu de M. Gauss, est gale la projection de l'lment ss' sur la direc- 

 tion du premier. Pareillement, la diffrence des deux autres brins, qui abou- 

 tissent au point P', est gale la projection du mme lments' sur le fil j'P'. 

 Or, cette diffrence est gale la premire, puisque le fil P.jP' est de longueur 

 constante ; donc les projections de l'lment ss' sur les deux brins sV, sV sont 

 gales; donc ces deux fils ^P, sV font des angles gaux avec Tlment ss'. 

 Or, ces deux fils sont courbs suivant des lignes godsiques dont les tan- 



(i) Aperu historique, p. Sga ; art. 33. 



