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{jenles touchent toutes la surface B ; de sorte que les tangentes eu s ces deux 

 lignes sont les tangentes la surface B comprises dans le plan tangent la 

 surface A au point s, ou, en d'autres termes, si Ton conoit le cne circon- 

 scrit la surface B et ayant son sommet en s, les deux tangentes en question 

 seront les deux artes de ce cne comprises dans le plan tangent la surface A. 

 Mais ce plan tangentest un plan principal du cne (i); donc les deux tangentes 

 font des angles gaux avec l'un des deux axes principaux du cne compris dans 

 ce plan; or, ces axes sont les tangentes aux deux lignes de courbure de la 

 surface qui se croisent au point s [2); donc chacune de ces lignes fait des an- 

 gles gaux avec les deux ,fils *P, sP'; donc l'lment ss' appartient l'une 

 de ces lignes; ce qui dmontre le thorme. 



Observations. Nous aurions encore pu dire que les deux lignes go- 

 dsiques .yP, sP' font des angles gaux avec chacune des deux lignes de 

 courbure en s, parce que leur quation admet la mme constante. Mais, par 

 les considrations que nous venons d'employer, il n'est pas ncessaire de con- 

 natre les quations des lignes godsiques; de sorte que notre thorme 

 drive directement et exclusivement de cette proprit purement gom- 

 trique de la ligne godsique, savoir, que toutes ses tangentes touchent une 

 seconde surface bomofocale la premire. 



J'ai dit que les deux points P, P' pouvaient tre pris arbitrairement sur 

 la surface B. En effet, les fils tendus par un stylet situ en s ne peuvent 

 prendre sur la surface A, que les directions des deux lignes godsiques qui 

 passent par ce point; mais la dmonstration suppose, toutefois, que l'un 

 des points tant pris arbitrairement, le second le soit de manire que les 

 deux brins du fil ne forment pas sur la surface A la mme ligne godsique. 

 La surface B se partagera en deux rgions ; l'une sera le lieu des points P 

 tels, que le brin fix en l'un de ces points viendra toujours s'appliquer sur 

 la surface A suivant la mme ligne godsique, et l'autre, le lieu des points 

 P du second brin qui s'appliquera toujours sur A suivant la seconde ligne 

 godsique. Si les deux extrmits du fil taient fixes en des points de la 

 mme rgion , les deux brins se courberaient donc sur la surface A suivant 

 la mme ligne. Cependant il y a encore considrer que le fil , partir d'un 

 mme point P, peut se diriger suivant deux directions opposes; ce qui 

 pourra permettre de prendre les deux points P, P' dans la mme rgion. 



(1) aperu historique, p. Sg?. ; art. 32. 

 (a) Ibid. 



C R., 1846, 1" Semestre. (T. XXII, N 3.) ' ^ 



