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tangente cette surface, et qu'on la prolonge par une ligne godsique , 

 cette ligne passera toujours par le mme ombilic O; de sorte qu'on pourra 

 tendredu point P au point O une infinit de fils mixtilignes ; tous ces fils 

 semnt gaux entre eux. Et comme les lignes godsiques vont passer par 

 l'ombilic oppos, et qu'elles sont gales entre elles, il s'ensuit que : La tan- 

 gente inene'e cfun point P pris sur l'hjrperbolejocale, moins l'arc godsique 

 men de ce point l'ombilic situ sur la mme branche du ct du point P, 

 est une quantit constante. 



On conclut de l que : 



" Quand deux ellipsodes sont inscrits dans un cne de rvolution qu'ils 

 touchent suivant une mme courbe, les arcs godsiques mens d'un point 

 quelconque de cette courbe aux deux ombilics situs sur les deux calottes 

 elliptiques ont leur diffrence constante. 



> r^a courbe de contact sur le cne peut tre considre comme le con- 

 tour d'un ellipsode infiniment aplati dont les ombilics sont les foyers. Donc 



Quand un cne de re\'olution est circonscrit un ellipsode, l'arc go- 

 dsique men d'un point de la courbe de contact un ombilic, et le rajon 

 vecteur men du mme point un foyer de cette courbe, ont leur diffrence 

 constante. 



" Un cne du second degr et une sphre qui a son centre en sou som- 

 met, peuvent tre considrs comme deux surfaces homofocales ; donc les 

 tangentes une ligne godsique trace sur un cne du second degr sont 

 toutes tangentes une sphre qui a son centre au sommet du cne. Cela 

 est vident et ne sert ici que comme vrification du thorme gnral. 



>' Je donnerai, dans une prochaine communication , une dmonstration 



directe de l'quation PD = 7== relative toutes les tangentes communes 



deux surfaces homofocales, que j'ai dduite prcdemment de l'quation 

 fx* sin^/' -f- v' sin*/" = a^. ( Voir les Comptes rendus, page 70.) 



GOMTRIE. Dinomtration gomtrique relative l'quation des lignes 

 godsiques sur un ellipsode quelconque; par M. Liodville. 



Soient M, M' deux points conscutifs d'une ligne godsique trace sur un 

 ellipsode, et MT, M'T' les tangentes de la courbe en ces points. A ces tangentes 

 rpondent, respectivement, deux autres tangentes de la surface, savoir, les 

 tangentes conjugues MS, M' S', que M. Ch. Dupin a introduites avec tant 



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