de succs dans les recherches gomtriques, et dont les directions diffrent 

 infiniment peu de celle de l'intersection des deux plans tangents SMT, S'M'T'. 

 Menons par le centre O de l'ellipsode, et paralllement ces diverses 

 droites, les diamtres COD, C'OD', etlesdemi-diamtresOE,OE',OI;OIsera 

 l'intersection de deux plans EOD, E'OD' parallles aux deux plans tan- 

 gents SMT, S'M'T', et diffrera infiniment peu des parallles OE, OE' aux 

 tangentes MS, M' S'. D'aprs un thorme connu , OD et OE, OD' et OE' 

 seront deux systmes de demi-diamtres conjugus pour les sections faites 

 dans la surface par les plans EOD , E'OD'. Par suite , les droites lE , lE', 

 qui diffrent infiniment peu des tangentes ces sections en E et E', seront 

 sensiblement parallles, l'une COD, l'autre C'OD'. Ainsi, en ngligeant 

 les infiniment petits du second ordre, ce que nous ferons dans tout ce qui 

 va suivre , les perpendiculaires abaisses des points E et E' sur les droites COD 

 et C'OD', sont respectivement gales celles abaisses du point I sur ces 

 mmes droites. On conclut aisment de l qu'elles sont gales entre elles. En 

 effet, par la proprit fondamentale de la ligne godsique, le plan DOD', 

 sensiblement parallle au plan osculateur de cette ligne en M, doit couper 

 le plan tangent SMT, et consquemment le plan EOD ou lOD , sous un angle 

 infiniment peu diffrent de 90 degrs; il s'ensuit que les perpendiculaires 

 abaisses du point I sur COD et C'OD' font aussi avec le plan DOD' des angles 

 infiniment peu diffrents de 90 degrs; ce qui suffit pour tablir la proposi- 

 tion nonce. 



En dsignant donc par H et H' les perpendiculaires abaisses des 

 points E, E' sur les diamtres COD, C'OD', on a, abstraction faite des infi- 

 niment petits du second ordre, H' H = o ; en d'autres termes, on a, pour 

 le lieu des points E, dll = o et H = constante. 



De l ce thorme : Si paralllement la tangente en un point quel- 

 conque M d'une ligne godsique donne et la tangente conjugue^ on 

 conoit deux diamtres de l'ellipsode, la perpendiculaire H abaisse d'une 

 des extrmits du second de ces diamtres sur le premier sera constante. 



La mme proprit appartient, du reste, aux lignes de courbure; elle 

 rsulte alors de ce que la tangente une de ces lignes est toujours perpen- 

 diculaire sa conjugue; ce qui rend la droite OI, dont on a parl plus haut, 

 sensiblement perpendiculaire aux deux droites COD, C'OD', en sorte que 

 les perpendiculaires H, H' doivent tre regardes comme gales OI et 

 partant comme gales entre elles. 



Soient P la perpendiculaire abaisse du centre de l'ellipsode sur le plan 



